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    某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：

    ●操作发现：

    在等腰△ABC中，AB＝AC，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连接MD和ME，则下列结论正确的是________(填序号即可)

    ①AF＝AG＝AB；②MD＝ME；③整个图形是轴对称图形；④∠DAB＝∠DMB．

    ●数学思考：

    在任意△ABC中，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，M是BC的中点，连接MD和ME，则MD和ME具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程；

    ●类比探索：

    在任意△ABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是BC的中点，连接MD和ME，试判断△MED的形状．

    答：________．

    答案：
    解析：

    　　[答案]解：●操作发现：①②③④

    　　●数学思考：

    　　答：MD＝ME，MD⊥ME，

    　　1、MD＝ME；

    　　如图2，分别取AB，AC的中点F，G，连接DF，MF，MG，EG，

    　　∵M是BC的中点，

    　　∴MF∥AC，MF＝AC．

    　　又∵EG是等腰Rt△AEC斜边上的中线，

    　　∴EG⊥AC且EG＝AC，

    　　∴MF＝EG．

    　　同理可证DF＝MG．

    　　∵MF∥AC，

    　　∴∠MFA＋∠BAC＝180°．

    　　同理可得∠MGA＋∠BAC＝180°，

    　　∴∠MFA＝∠MGA．

    　　又∵EG⊥AC，∴∠EGA＝90°．

    　　同理可得∠DFA＝90°，

    　　∴∠MFA＋∠DFA＝∠MGA＝∠EGA，

    　　即∠DFM＝∠MEG，又MF＝EG，DF＝MG，

    　　∴△DFM≌△MGE(SAS)，

    　　∴MD＝ME．

    　　2、MD⊥ME；

    　　证法一：∵MG∥AB，

    　　∴∠MFA＋∠FMG＝180°，

    　　又∵△DFM≌△MGE，∴∠MEG＝∠MDF．

    　　∴∠MFA＋∠FMD＋∠DME＋∠MDF＝180°，

    　　其中∠MFA＋∠FMD＋∠MDF＝90°，

    　　∴∠DME＝90°．

    　　即MD⊥ME；

    　　证法二：如图2，MD与AB交于点H，

    　　∵AB∥MG，

    　　∴∠DHA＝∠DMG，

    　　又∵∠DHA＝∠FDM＋∠DFH，

    　　即∠DHA＝∠FDM＋90°，

    　　∵∠DMG＝∠DME＋∠GME，

    　　∴∠DME＝90°

    　　即MD⊥ME；

    　　●类比探究

    　　答：等腰直角三解形

    　　[考点解剖]本题考查了轴对称、三角形中位线、平行四边形、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、全等、角的转化等知识，能力要求很高．

    　　[解题思路](1)由图形的对称性易知①、②、③都正确，④∠DAB＝∠DMB＝45°也正确；(2)直觉告诉我们MD和ME是垂直且相等的关系，一般由全等证线段相等，受图1△DFM≌△MGE的启发，应想到取中点构造全等来证MD＝ME，证MD⊥ME就是要证∠DME＝90°，由△DFM≌△MGE得∠EMG＝∠MDF，△DFM中四个角相加为180°，∠FMG可看成三个角的和，通过变形计算可得∠DME＝90°．(3)只要结论，不要过程，在(2)的基础易知为等腰直角三解形．

    　　[解答过程]略．

    　　[方法规律]由特殊到一般，形变但本质不变(仍然全等)

    　　[关键词]课题学习　全等　开放探究


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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2013•南昌）某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：
    （1）操作发现：在等腰△ABC中，AB=AC，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连接MD和ME，则下列结论正确的是
    ①②③④
    ①②③④
    （填序号即可）
    ①AF=AG=
    12
    AB；②MD=ME；③整个图形是轴对称图形；④MD⊥ME．
    （2）数学思考：在任意△ABC中，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，M是BC的中点，连接MD和ME，则MD和ME具有怎样的数量关系？请给出证明过程；
    （3）类比探究：
    （i）在任意△ABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是BC的中点，连接MD和ME，试判断△MED的形状．答：
    等腰直角三角形
    等腰直角三角形
    ．
    （ii）在三边互不相等的△ABC中（见备用图），仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作（非等腰）直角三角形ABD和（非等腰）直角三角形ACE，M是BC的中点，连接MD和ME，要使（2）中的结论此时仍然成立，你认为需增加一个什么样的条件？（限用题中字母表示）并说明理由．

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    科目：初中数学 来源：2013年江西省南昌市高级中等学校招生考试数学 题型：044

    某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：

    (1)操作发现：

    在等腰△ABC，AB＝AC，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连接MD和ME，则下列结论正确的是________(填序号即可)

    ①AF＝AG＝AB；②MD＝ME；③整个图形是轴对称图形；④MD⊥ME

    (2)数学思考：

    在任意△ABC中，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，M是BC的中点，连接MD和ME，则MD与ME具有怎样的数量关系？请给出证明过程；

    (3)类比探究：

    (i)在任意△ABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是BC的中点，连接MD和ME，试判断△MEC的形状．答：________．

    (ii)在三边互不相等的△ABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作(非等腰)直角三角形ABD和(非等腰)直角三角形ACE，M是BC的中点，连接MD和ME，要使(2)中的结论时仍然成立，你认为需增加一个什么样的条件？(限制用题中字母表示)并说明理由．

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    科目：初中数学 来源：2013年初中毕业升学考试（江西卷）数学（解析版） 题型：解答题

    某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：

    ●操作发现：

    在等腰△ABC中，AB=AC，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连接MD和ME，则下列结论正确的是        （填序号即可）

    ①AF=AG=AB；②MD=ME；③整个图形是轴对称图形；④∠DAB=∠DMB．

    ●数学思考：

    在任意△ABC中，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，M是BC的中点，连接MD和ME，则MD和ME具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程；

    ●类比探索：

    在任意△ABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是BC的中点，连接MD和ME，试判断△MED的形状．

    答：        ．

     

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：

    　　●操作发现：

          在等腰△ABC中，AB=AC，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连接MD和ME，则下列结论正确的是         （填序号即可）

         ①AF=AG=AB；②MD=ME；③整个图形是轴对称图形；④∠DAB=∠DMB．

    ●数学思考：

      在任意△ABC中，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，M是BC的中点，连接MD和ME，则MD和ME具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程；

    ●类比探索：

      在任意△ABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是BC的中点，连接MD和ME，试判断△MED的形状．

      答：           ．

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    科目：初中数学 来源：2013年江西省南昌市中考数学试卷（解析版） 题型：解答题

    某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：
    （1）操作发现：在等腰△ABC中，AB=AC，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连接MD和ME，则下列结论正确的是______（填序号即可）
    ①AF=AG=AB；②MD=ME；③整个图形是轴对称图形；④MD⊥ME．
    （2）数学思考：在任意△ABC中，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，M是BC的中点，连接MD和ME，则MD和ME具有怎样的数量关系？请给出证明过程；
    （3）类比探究：
    （i）在任意△ABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是BC的中点，连接MD和ME，试判断△MED的形状．答：______．
    （ii）在三边互不相等的△ABC中（见备用图），仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作（非等腰）直角三角形ABD和（非等腰）直角三角形ACE，M是BC的中点，连接MD和ME，要使（2）中的结论此时仍然成立，你认为需增加一个什么样的条件？（限用题中字母表示）并说明理由．

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