【题目】如图,等边△ABC的边长为4,点O是△ABC的外心,∠FOG=120°.绕点O旋转∠FOG,分别交线段AB、BC于D、E两点.连接DE给出下列四个结论:①OD=OE;②S△ODE=S△BDE;③S四边形ODBE=;④△BDE周长的最小值为6.上述结论中正确的个数是( )
A.1B.2C.3D.4
【答案】B
【解析】
连接OB,OC,易证△BOD≌△COE,因为OD=OE,将S四边形ODBE转化为S△BOC,故可得①③正确;利用特殊时刻:当D与B重合时,E与C重合,此时S△ODE>0,而S△BDE=0,故②错误;因为△BOD≌△COE,所以BD=EC,所以当DE最小时,△BDE周长最小,利用勾股定理求出DE,找到DE的最小值即可解决问题.
如图,连接OB,OC,过点D作DM⊥BC于M.
(1)∵等边△ABC的边长为4,点O是△ABC的外心,∠FOG=120°,
∴易证∠BOD=∠COE,OB=OC,∠DBO=∠ECO=30°,
∴△BOD≌△COE,
∴OD=OE,故①正确;
(2)当D与B重合时,E与C重合,
此时S△ODE>0,
而S△BDE=0,故②错误;
(3)∵△BOD≌△COE,
∴S四边形ODBE=S△ODB+S△BOE
=S△OCE+S△BOE
=S△BOC
=S△ABC
=,故③错误;
(4)∵△BOD≌△COE,
∴BD=EC,
∴△BDE周长=BD+BE+DE=BC+DE,
∵BC=4,
∴当DE最小时,△BDE周长最小.
设BD=x,则BM=x,DM=x,EC=BD=x,BE=4﹣x,
∴ME=BE﹣BM=4﹣x,
∴由勾股定理得:DE==,
∴DE的最小值为2,
∴△BDE周长的最小值为6,故④正确;
所以①④正确.
故选:B.
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【题目】如图数轴的A、B、C三点所表示的数分别为a、b、c.若|a﹣b|=3,|b﹣c|=5,且原点O与A、B的距离分别为4、1,则关于O的位置,下列叙述何者正确?( )
A. 在A的左边 B. 介于A、B之间 C. 介于B、C之间 D. 在C的右边
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【题目】如图,点O为正方形ABCD的中心,BE平分∠DBC交DC于点E,延长BC到点F,使FC=EC,连结DF交BE的延长线于点H,连结OH交DC于点G,连结HC.则以下四个结论中:①OH∥BF,②GH=BC,③OD=BF,④∠CHF=45°。正确结论的个数为( )
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,点B在函数y=x图象上,点A在x轴的正半轴上,等腰直角三角形BCD的顶点C在AB上,点D在函数y=第一象限的图象上若△OAB与△BCD面积的差为2,则k的值为( )
A.8B.4C.2D.1
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【题目】探究:如图①,直线l1∥l2,点A、B在直线l1上,点C、D在直线l2上,记△ABC的面积为S1,△ABD的面积为S2,求证:S1=S2.
拓展:如图②,E为线段AB延长线上一点,BE>AB,正方形ABCD、正方形BEFG均在直线AB同侧,求证:△DEG的面积是正方形BEFG面积的一半.
应用:如图③,在一条直线上依次有点A、B、C、D,正方形ABIJ、正方形BCGH、正方形CDEF均在直线AB同侧,且点F、H分别是边CG、BI的中点,若正方形CDEF的面积为l,则△AGI的面积为 .
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【题目】某市水费采用阶梯收费制度,即:每月用水不超过15吨时,每吨需缴纳水费a元,每月用水量超过15吨时,超过15吨的部分按每吨提高b元缴纳下表是嘉琪家一至四月份用水量和缴纳水费情况.根据表格提供的数据,回答:
月份 | 一 | 二 | 三 | 四 |
月用水量(吨) | 14 | 18 | 16 | 13 |
水费(元) | 42 | 60 | 50 | 39 |
(1)a= 元;b= 元;
(2)求月缴纳水费p(元)与月用水量t(吨)之间的函数关系式;
(3)若嘉琪家五月和六月的月缴水费相差24元,求这两月用水量差的最小值.
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【题目】如图,二次函数的图象交轴于点,交轴于点是直线下方抛物线上一动点.
(1)求这个二次函数的表达式;
(2)连接,是否存在点,使面积最大,若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,以AB为直径作⊙O,点D为⊙O上一点,且CD=CB,连接DO并延长交CB的延长线于点E,连接OC.
(1) 判断直线CD与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2) 若BE=,DE=3,求⊙O的半径及AC的长.
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【题目】某日王老师佩戴运动手环进行快走锻炼两次锻炼后数据如下表,与第一次锻炼相比,王老师第二次锻炼步数增长的百分率是其平均步长减少的百分率的倍.设王老师第二次锻炼时平均步长减少的百分率为.注:步数平均步长距离.
项目 | 第一次锻炼 | 第二次锻炼 |
步数(步) | ①_______ | |
平均步长(米/步) | ②_______ | |
距离(米) |
(1)根据题意完成表格;
(2)求.
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