Question

如图，设点P是等边三角形ABC外接圆上的一点，AP交BC于Ｄ．

求证：（1）PA=PB+PC；

（2）PA²=BC²+PB·PC；

（3）．

 

Answer 1

答案：
解析：

证明：（1）在PA上截取AE=PB，连结EC． ∵△ABC是等边三角形，∴BC=AC． ∵∠CAE=∠PBC，∴△AEC≌△BPC．∴CE=CP, ∴∠CPA=∠CBA=60°． ∴△PCE是等边三角形． 即PC=PE，∴PA=PB+PC． （2）∵∠BPD=∠APC=60°,∠CAP=∠CBP,∴△PBD∽△PAC． ∴,即PA·PD=PB·PC① 又∵∠ABC=∠BPA=60°,∠BAD=∠BAP,∴△PAB∽△BAＤ． ∴,即PA·AD=AB2② ①+②,得PA（PD+AD）=AB2+PB·PC 又∵PA=PD+AD，AB=BC，∴PA2=BC2+PB·PC． （3）由（2）中得，PA·PD=PB·PC， ∴， 由PA=PB+PC，代入上式，得， ∴．

提示：

证明PA=PB+PC，可在AP上截取AE=BP，然后再证明PE=PC即可．由结论（1）可知，要证明PA2=BC2+PB·PC，只要证明△PBD∽△PAC和△PAB∽ △BAD,得PA·PD=PC·PB，AB2=PA·AＤ．再结合（1）的结论，即可得证．第（3）问，可先把结论整理变形为，又由（1）知，PC+PB=PA，所以结论可变为PD·PA=PB·PC，由△PBD∽△PAC即可证得．