Question

某服装厂现有工人1000人，原来全部从事服装生产，为了企业改革需要，准备将其部分人分流从事服务行业，经过调研发现，服装生产的利润y₁（百万元）与服装生产的工作人数x（百人）的关系为y₁=

- 1 2 (x-1)2+16…(0≤x≤8) (x-1)2-2…(8≤x≤10)

，从事服务行业的纯利润y₂ （百万元）与从事服务行业人数t（百人）的关系y₂=

4t-1…(0≤t≤4) -2t+23…(4≤t≤10)

．服装工厂总利润w（百万元）为两种行业纯利润和．
（1）写出y₂与x 的函数关系式，并写出自变量取值范围；
（2）求出W与x的函数关系式；
（3）工厂如何安排工人数，才能使总利润最大？

Answer 1

分析：（1）由题意可得从事服务行业人数t=10-x（百人），又由从事服务行业的纯利润y₂ （百万元）与从事服务行业人数t（百人）的关系y₂=

4t-1…(0≤t≤4) -2t+23…(4≤t≤10)

，将t=10-x代入，即可求得y₂与x 的函数关系式；
（2）由服装工厂总利润w（百万元）为两种行业纯利润和，分别从当0≤x≤6时，当6≤x≤8时与当8≤x≤10时去分析即可求得W与x的函数关系式；
（3）利用二次函数最值问题，分别求得当0≤x≤6时，当6≤x≤8时与当8≤x≤10时w的最大值，即可求得答案．

解答：解：（1）∵服装厂现有工人1000人，即服装厂现有工人10百人，
∴从事服务行业人数t=10-x（百人），
∵y₂=

4t-1…(0≤t≤4) -2t+23…(4≤t≤10)

．
∴y₂=

4(10-x)-1…(0≤10-x≤4) -2(10-x)+23…(4≤10-x≤10)

，
即y₂=

2x+3    (0≤x≤6) -4x+39  (6≤x≤10)

，
∴y₂与x 的函数关系式为：y₂=

2x+3    (0≤x≤6) -4x+39  (6≤x≤10)

；

（2）当0≤x≤6时，w=-

1

2

（x-1）²+16+2x+3=-

1

2

（x-3）²+23，
当6≤x≤8时，w=-

1

2

（x-1）²+16-4x+39=-

1

2

（x+3）²+59，
当8≤x≤10时，w=（x-1）²-2-4x+39=（x-3）²+29，
∴W与x的函数关系式为：w=

- 1 2 (x-3)2+23   (0≤x≤6) - 1 2 (x+3)2+59  (6≤x≤8) (x-3)2+29       (8≤x≤10)

；

（3）由（2）可得：①当0≤x≤6时，x=3时，w最大为23百万元；
②当6≤x≤8时，
∵当x＞-3时，w随x增大而减小，
∴当x=6时，w最大为18.5百万元；
③当8≤x≤10时，
∵当x＞3时，w随x增大而增大，
∴当x=10时，w最大为78百万元；
∴1000人都从事服装生产，获得利润最大．

点评：此题考查了二次函数的实际应用问题．此题难度较大，属于分段函数，所以要注意分类讨论思想的应用，注意理解题意，根据题意求得二次函数，利用二次函数的性质求解．