Question

18．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AD平分∠BAC，CE⊥AD交AB于E，BE=CF，BF交CE于P，连PD，下列结论：①AC=AE，②CD=BE，③PB=PF，④DP=BF，其中正确的结论是（　　）

• A． ①②③④
• B． ①②③
• C． ①②
• D． ①③

Answer 1

分析 ①根据等腰直角三角形的性质以及AD平分∠BAC，CE⊥AD交AB于E，即可得到AC=AE；故①正确；
②过B作BQ⊥BC交CE的延长线于Q，根据全等三角形的性质得到CD=BQ，∠Q=∠CFB，由余角的性质得到∠ACE=∠Q，等量代换得到∠BEQ=∠Q，由等腰三角形的性质得到BE=BQ，等量代换得到CD=BE，故②正确；
③根据全等三角形的性质得到∠BCE=∠FBC，于是得到PB=PC，同理PF=PC，等量代换得到PB=PF；故③正确；
④连接PD，FD，推出△CFD是等腰直角三角形，得到∠CFD=∠CAB=45°，得到DF∥AB，根据平行线的性质得到∠DFB=∠ABF，推出DF=DB，根据等腰三角形的性质得到PD⊥BF，而DP=BF不成立，故④错误．

解答 解：∵AD平分∠BAC，且CE⊥AD，
∴∠ACP=∠AEP，
∴AC=AE，故①正确；

过B作BQ⊥BC交CE的延长线于Q，
∴∠ACD=∠CBQ=90°，
∵CE⊥AD，
∴∠CAD=∠BCQ，
在△ACD与△CBQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAD=∠BCQ}\\{AC=BC}\\{∠ACD=∠CBQ}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△CBQ（ASA），
∴CD=BQ，∠Q=∠CFB，
∵∠ACE+∠DCE=∠Q+∠DCE=90°，
∴∠ACE=∠Q，
∵∠ACE=∠AEC，∠BEQ=∠AEC，
∴∠BEQ=∠Q，
∴BE=BQ，
∴CD=BE，故②正确；

∴CF=BE=CD，
在△ACD与△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{CF=CD}\\{∠ACD=∠BCF}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCF（SAS），
∴∠BCE=∠FBC，
∴PB=PC，
同理PF=PC，
∴PB=PF；故③正确；

连接FD，
∵CF=CD，
∴△CFD是等腰直角三角形，
∴∠CFD=∠CAB=45°，
∴DF∥AB，
∴∠DFB=∠ABF，
∵∠CBF=∠CAD=$\frac{1}{2}$CAB=22.5°，
∴∠DFB=∠ABF=22.5°，
∴∠DFB=∠DBF，
∴DF=DB，
∵PF=PB，
∴PD⊥BF，
∴tan∠DBP＜1，即DP＜BP＜BF，故④错误，
故选：B．

点评 本题考查了全等三角形的判定，全等三角形对应边、对应角相等的性质，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质的综合应用，本题中证得△ACD≌△BCH，△ACD≌△BCF是解题的关键．