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20.阅读、理解并应用探究.
[理解性质]:如图,矩形(长方形)ABCD中,AB∥CD,AB=CD,AD∥BC,AD=BC,对角线AC,BD相交于点O,且OA=OB=OC=OD.
[应用]探究性学习小组在探究矩形的折纸问题时,将一块直角三角板的直角顶点绕着矩形ABCD(AB<BC)的对角线交点O旋转(如图①→②→③),图中M、N分别为直角三角板的直角边与矩形ABCD的边CD、BC的交点.

(1)该学习小组中一名成员意外地发现:在图①(三角板的一直角边与OD重合)中,BN2=CD2+CN2;在图③(三角板的一直角边与OC重合)中,CN2=BN2+CD2
请你对这名成员在图①和图③中发现的结论选择其一说明理由.
(2)[探究]试探究图②中BN、CN、CM、DM这四条线段之间的关系,写出你的结论,并说明理由.

分析 (1)若选图①,连接DN,根据线段垂直平分线的性质,得出BN=DN,再根据勾股定理,列出DN2=CD2+CN2,即可得到BN2=CD2+CN2;若选图③,连接AN,根据线段垂直平分线的性质,得出AN=CN,再根据勾股定理,列出AN2=AB2+BN2,即可得到CN2=CD2+BN2
(2)延长NO交AD于点P,连接PM,MN,先判定△BON≌△DOP(AAS),得出ON=OP,BN=PD,根据线段垂直平分线的性质,得出PM=MN,再根据勾股定理得到PM2=PD2+DM2,MN2=CM2+CN2,进而得出PD2+DM2=CM2+CN2,即可得到BN2+DM2=CM2+CN2

解答 解:(1)若选图①,
证明:如图①,连接DN,
∵四边形ABCD是矩形,
∴OB=OD,
∵∠DON=90°,
∴BN=DN,
∵∠NCD=90°,
∴Rt△CDN中,DN2=CD2+CN2
∴BN2=CD2+CN2

若选图③,
证明:如图③,连接AN,
∵四边形ABCD是矩形,
∴OB=OD,AB=CD,
∵∠AON=90°,
∴AN=CN,
∵∠NBA=90°,
∴Rt△ABN中,AN2=AB2+BN2
又∵AB=CD,AN=CN,
∴CN2=CD2+BN2

(2)BN2+DM2=CM2+CN2
理由:如图②,延长NO交AD于点P,连接PM,MN,
∵四边形ABCD是矩形,
∴OD=OB,AD∥BC,
∴∠DPO=∠BNO,∠PDO=∠NBO,
在△BON和△DOP中
$\left\{\begin{array}{l}{∠NBO=∠PDO}\\{∠BNO=∠DPO}\\{OB=OD}\end{array}\right.$,
∴△BON≌△DOP(AAS),
∴ON=OP,BN=PD,
∵∠MON=90°,
∴PM=MN,
∵∠PDM=∠NCM=90°,
∴Rt△PDM中,PM2=PD2+DM2
Rt△NCM中,MN2=CM2+CN2
∴PD2+DM2=CM2+CN2
∴BN2+DM2=CM2+CN2

点评 本题属于四边形综合题,主要考查了矩形的性质,线段垂直平分线的性质,全等三角形的性质和判定以及勾股定理等知识点的综合运用,解决问题的关键是作辅助线,构造直角三角形和全等三角形,运用勾股定理列出表达式.

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