分析 (1)若选图①,连接DN,根据线段垂直平分线的性质,得出BN=DN,再根据勾股定理,列出DN2=CD2+CN2,即可得到BN2=CD2+CN2;若选图③,连接AN,根据线段垂直平分线的性质,得出AN=CN,再根据勾股定理,列出AN2=AB2+BN2,即可得到CN2=CD2+BN2;
(2)延长NO交AD于点P,连接PM,MN,先判定△BON≌△DOP(AAS),得出ON=OP,BN=PD,根据线段垂直平分线的性质,得出PM=MN,再根据勾股定理得到PM2=PD2+DM2,MN2=CM2+CN2,进而得出PD2+DM2=CM2+CN2,即可得到BN2+DM2=CM2+CN2.
解答 解:(1)若选图①,
证明:如图①,连接DN,
∵四边形ABCD是矩形,
∴OB=OD,
∵∠DON=90°,
∴BN=DN,
∵∠NCD=90°,
∴Rt△CDN中,DN2=CD2+CN2,
∴BN2=CD2+CN2;
若选图③,
证明:如图③,连接AN,
∵四边形ABCD是矩形,
∴OB=OD,AB=CD,
∵∠AON=90°,
∴AN=CN,
∵∠NBA=90°,
∴Rt△ABN中,AN2=AB2+BN2,
又∵AB=CD,AN=CN,
∴CN2=CD2+BN2;
(2)BN2+DM2=CM2+CN2.
理由:如图②,延长NO交AD于点P,连接PM,MN,
∵四边形ABCD是矩形,
∴OD=OB,AD∥BC,
∴∠DPO=∠BNO,∠PDO=∠NBO,
在△BON和△DOP中
$\left\{\begin{array}{l}{∠NBO=∠PDO}\\{∠BNO=∠DPO}\\{OB=OD}\end{array}\right.$,
∴△BON≌△DOP(AAS),
∴ON=OP,BN=PD,
∵∠MON=90°,
∴PM=MN,
∵∠PDM=∠NCM=90°,
∴Rt△PDM中,PM2=PD2+DM2,
Rt△NCM中,MN2=CM2+CN2,
∴PD2+DM2=CM2+CN2,
∴BN2+DM2=CM2+CN2.
点评 本题属于四边形综合题,主要考查了矩形的性质,线段垂直平分线的性质,全等三角形的性质和判定以及勾股定理等知识点的综合运用,解决问题的关键是作辅助线,构造直角三角形和全等三角形,运用勾股定理列出表达式.
科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | 只有一个 | B. | 可以有2个 | C. | 可以有3个 | D. | 无数个 |
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:解答题
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:解答题
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:填空题
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\sqrt{3}$ | B. | -$\sqrt{2}$ | C. | $-\sqrt{5}$ | D. | -1.5 |
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com