Question

如图，在平面直角坐标系中，以点M（0，

3

）为圆心，以2

3

长为半径作⊙M交x轴于A，B两点，交y轴于C，D两点，连接AM并延长交⊙M于P点，连接PC交x轴于E．
（1）求出CP所在直线的解析式；
（2）连接AC，请求△ACP的面积．

Answer 1

分析：（1）要求CP所在的直线的解析式，就必须知道C，P两点的坐标，有圆心M的坐标，有圆的半径，那么可求出OC的，OM的长，直角三角形AMO中有AM，OM的值，就能求出OA，OB的长，那么P的横坐标就求出来了，连接PB，那么OM是三角形APB的中位线，PB=2OM，已经求出了OM的长，那么PB的长也就求出来了，这样P点的坐标就求出来了，有了C，P的坐标，可根据待定系数法求出CP所在直线的解析式；
（2）求三角形ACP的面积实际上是求直角边AC，PC的长，因为三角形ACP是个直角三角形，有斜边AB的长，只要求出这个三角形中锐角的度数，即可求出直角边的长，在三角形AMO中，我们可求出∠AMO的度数，根据圆周角定理，也就求出了∠P的度数，有了锐角的度数和斜边的长，直角边就能求出来了，面积也就能求出来了．

解答：解：（1）连接PB，
∵PA是⊙M的直径，
∴∠PBA=90度，
∵DC是⊙M的直径，且垂直于弦AB，
∴DC平分弦AB，
在Rt△AMO中AM=2

3

，OM=

3

，
∴AO=OB=3，
又∵MO⊥AB，
∴PB∥MO，
∴PB=2OM=2

3

，
∴P点坐标为（3，2

3

），
∵CM=2

3

，OM=

3

，
∴OC=CM-OM=

3

，
∴C（0，-

3

），直线CP过C，P两点，
设直线CP的解析式为y=kx+b（k≠0），
得到

- 3 =b 2 3 =3k+b

，
解得：

k= 3 b=- 3

，
∴直线CP的解析式为y=

3

x-

3

；

（2）在Rt△AMO中，∠AMO=60度，
又∵AM=CM，
∴△AMC为等边三角形，
∴AC=AM=2

3

，∠MAC=60度．
又∵AP为⊙M的直径，
∴∠ACP=90°，∠APC=30度，
PC=

3

AC=

3

•2

3

=6，
∴△ACP的面积=

1

2

AC•PC=

1

2

×2

3

×6=6

3

．

点评：本题考查了一次函数与圆，直角三角形等知识的综合应用，根据直角三角形求出线段的长是本题解题的关键．