Question

已知，如图，在?ABCD中，AC、BD相交于O点，若∠OAB=∠OBA，
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若作BE⊥AC于E，CF⊥BD于F，求证：BE=CF．

Answer 1

证明：（1）∵∠OAB=∠OBA，
∴OA=OB，
∵在?ABCD中，OA=OC，OB=OD，
∴OA+OC=OB+OD，即AC=BD，
∴?ABCD是矩形．

（2）∵BE⊥AC于E，CF⊥BD于F，
∴∠BEO=∠CFO=90°，
又由（1）OB=OC，
在△BOE和△COF中，
∴△BOE≌△COF，（AAS）
∴BE=CF．
分析：（1）根据矩形的判定定理，欲求证四边形ABCD是矩形，已知OA=OC、OB=OD再证AC=BD即可，由∠OAB=∠OBA易证．
（2）根据三角形全等的判定，欲求证BE=CF，只需证△OBE≌△OCF即可，根据AAS容易证出．
点评：此题难度中等，考查了矩形的判定、全等三角形的判定和性质及平行四边形性质的综合运用．