Question

20．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D
（1）求证：∠BCE=∠CAD；
（2）若AD=9cm，DE=5cm，求BE的长4cm．

Answer 1

分析 （1）求出∠E=∠ADC=∠ACB=90°，∠CAD=∠BCE，根据AAS推出即可；
（2）根据全等三角形的性质求出CE=AD=6cm，BE=CD，即可得出答案．

解答 （1）证明：∵∠ACB=90°，BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠E=∠ADC=∠ACB=90°，
∴∠BCE+∠ACD=90°，∠ACD+∠CAD=90°，
∴∠CAD=∠BCE，
在△ADC和△CEB中
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADC=∠E}\\{∠CAD=∠BCE}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴∠BCE=∠CAD；

（2）解：∵△ADC≌△CEB，AD=9cm，
∴CE=AD=9cm，BE=CD，
∵DE=5cm，
∴BE=CD=CE-DE=9cm-5cm=4cm．
故答案为4cm．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理，垂直定义的应用，能求出△ADC≌△CEB是解此题的关键．