在Rt△ABC中,AB=BC=4,∠B=90°,将一直角三角板的直角顶点放在斜边AC的中点P处,将三角板绕点P旋转,三角板的两直角边分别与边AB、BC或其延长线上交于D、E两点(假设三角板的两直角边足够长),如图(1)、图(2)表示三角板旋转过程中的两种情形.
(1)直角三角板绕点P旋转过程中,当BE=______
【答案】
分析:(1)根据△PEC是等腰三角形,分类进行讨论即可;
(2)连接BP,首先根据题干条件证明出∠BPD=∠CPE,然后证明△DPB≌△EPC,于是证明出PD=PE;
(3)过M分别作AB、BC的垂线,垂足分别为G、H,首先根据角之间的关系求出∠GMD=∠HME,进而证明出△MGD∽△MHE,根据相似三角形对应边成比例,得到
,再求出GM、HM关于m、n的表达式,三式结合求出MD、ME之间的比例关系.
解答:(1)解:当BE=0时,即点B和点E重合,故可知△PEC是等腰三角形,
当BE=2时,即E是BC的中点,可得△PEC是等腰三角形
由题干条件知PC=2
,当CP=CE时△PEC是等腰三角形,BE=4-2
;
当E在BC的延长线上时,CE=CP,△PEC是等腰三角形,BE=4+2
;
故答案为0、2或4±2
.
(2)证明:连接BP.
∵AB=BC 且∠ABC=90°,
∴∠C=45°,
又∵P是AC中点,
∴BP⊥AC,BP=PC 且∠ABP=∠CBP=45°,
∴∠CPE+∠EPB=90°,
∵DP⊥PE,
∴∠BPD+∠EPB=90°,
∴∠BPD=∠CPE,
在△DPB和△EPC中
∵
,
∴△DPB≌△EPC,
∴PD=PE,
(3)解:MD、ME的数量关系是:
,
理由如下:
过M分别作AB、BC的垂线,垂足分别为G、H.
由作图知,∠MGA=∠MGB=∠MHB=∠MHE=90°
又∵∠B=90°,
∴∠GMH=90°,
∴∠GMD+∠DMH=90°,
∵∠DMH+∠HME=90°,
∴∠GMD=∠HME
∴△MGD∽△MHE,
∴
①,
∵
,
∴
,
∵∠MGA=∠B=90°,
∴GM∥BC,
∴
即
②
同理
,
∵AB=BC,
∴
③
②③代入①得
.
点评:本题主要考查相似综合题得知识点,解答本题的关键是熟练运用相似三角形的判定与性质定理,此题难度较大.