Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，点A（0，3），点B（-1，0），点D（2，0），DE⊥x轴且∠BED=∠ABD，延长AE交x轴于点F．

（1）求证：∠BAE=∠BEA；

（2）求点F的坐标；

（3）如图2,若点Q（m，-1）在第四象限，点M在y轴的正半轴上，∠MEQ=∠OAF，设AM-MQ=n，求m与n的数量关系，并证明．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）F（3，0）；（3）m=n，证明见解析．

【解析】

（1）先证明△ABO≌△BED，从而得出AB=BE，然后根据等边对等角可得出结论；

（2）连接OE，设DF=x，先求出点E的坐标，再根据S△AOE＋S△EOF=S△AOF可得出关于x的方程，求出x，从而可得出点F的坐标；

（3）过Q作QP∥x轴交y轴于P，过E作EG⊥OA，EH⊥PQ，垂足分别为G，H，在GA上截取GK=QH，先证明△EQH≌△EKG，再证明△KEM≌△QEM，得出MK=MQ，从而有AM-MQ=AM-MK=AK=n①；连接EP，证明△AEK≌△PEQ，从而有AK=PQ＝m②，由①②即可得出结论．

解：（1）∵A（0，3），B（－1，0），D（2，0），

∴OB=1，OD=2，OA=3，

∴AO=BD，

又∠AOB=∠BDE=90°，∠BED=∠ABD，

∴△ABO≌△BED（AAS），

∴BA=BE，

∴∠BAE=∠BEA；

（2）由（1）知，△ABO≌△BED，

∴DE=BO=1，∴E（2，1），

连接OE，设DF=x，

∵S△AOE＋S△EOF=S△AOF，

∴3×2×＋（2＋x）×1×=3（2＋x）×，

∴x=1，

∴点F的坐标为（3，0）；

（3）m=n，证明如下：

∵OA=OF=3，∴∠OAF=45°=∠MEQ，

过Q作QP∥x轴交y轴于P，过E作EG⊥OA，EH⊥PQ，垂足分别为G，H，在GA上截取GK=QH，

∵Q（m，－1），E（2，1），

∴EG=EH=PH=PG=2，

又GK=QH，∠EGK=∠EQH=90°，

∴△EQH≌△EKG（SAS），

∴EK=EQ，∠GEK=∠HEQ，

∵∠GEH=90°，∠MEQ=45°，∴∠QEH+∠GEM=45°，∴∠GEK+∠GEM=45°，

即∠KEM=45°=∠MEQ，

又EM=EM，

∴△KEM≌△QEM（SAS），∴MK=MQ，

∴AM-MQ=AM-MK=AK=n①，

∴MQ=MG+KG=MG+QH．

连接EP，△EHP为等腰直角三角形，∠EPH=45°，

∴∠EPQ=∠EPA=45°，△EHP为等腰直角三角形，PE=AE，∠PEA=90°，∵∠KEM=∠MEQ=45°，∴∠KEQ=90°，

∴∠AEK=∠PEQ，∠EPQ=∠KAE，

∴△AEK≌△PEQ，

∴AK=PQ＝m②，

由①②可得，m=n．