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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，已知抛物线y=-x2+bx+c与坐标轴交于A，B，C三点，点A的横坐标为-1，过点C（0，3）的直线y=-x+3与x轴交于点Q，点P是线段BC上的一个动点，PH⊥OB于点H．若PB=5t，且0＜t＜1．
    （1）确定b，c的值；
    （2）写出点B，Q，P的坐标（其中Q，P用含t的式子表示）；
    （3）依点P的变化，是否存在t的值，使△PQB为等腰三角形？若存在，求出所有t的值；若不存在，说明理由．

    【答案】分析：（1）将A、C的坐标代入抛物线中即可求得待定系数的值．
    （2）根据抛物线的解析式可求得B点的坐标，即可求出OB，BC的长，在直角三角形BPH中，可根据BP的长和∠CBO三角函数求出PH，BH的长，进而可求出OH的长，也就求出了P点的坐标．Q点的坐标，可直接由直线CQ的解析式求得．
    （3）本题要分情况讨论：
    ①PQ=PB，此时BH=QH=BQ，在（2）中已经求得了BH的长，BQ的长可根据B、Q点的坐标求得，据此可求出t的值．
    ②PB=BQ，那么BQ=BP=5t，由此可求出t的值．
    ③PQ=BQ，已经求得了BH的长，可表示出QH的长，然后在直角三角形PQH中，用BQ的表达式表示出PQ，即可用勾股定理求出t的值．
    解答：解：（1）已知抛物线过A（-1，0）、C（0，3），则有：
    ，
    解得，
    因此b=，c=3；

    （2）令抛物线的解析式中y=0，则有-x2+x+3=0，
    解得x=-1，x=4；
    ∴B（4，0），OB=4，
    因此BC=5，
    在直角三角形OBC中，OB=4，OC=3，BC=5，
    ∴sin∠CBO=，cos∠CBO=，
    在直角三角形BHP中，BP=5t，
    因此PH=3t，BH=4t；
    ∴OH=OB-BH=4-4t，
    因此P（4-4t，3t）．
    令直线的解析式中y=0，则有0=-x+3，x=4t，
    ∴Q（4t，0）．

    （3）存在t的值，有以下三种情况
    ①如图1，当PQ=PB时，
    ∵PH⊥OB，则QH=HB，
    ∴4-4t-4t=4t，
    ∴t=，
    ②当PB=QB得4-4t=5t，
    ∴t=，
    ③当PQ=QB时，在Rt△PHQ中有QH2+PH2=PQ2，
    ∴（8t-4）2+（3t）2=（4-4t）2，
    ∴57t2-32t=0，
    ∴t=，t=0（舍去），
    又∵0＜t＜1，
    ∴当或或时，△PQB为等腰三角形．
    点评：本题考查了二次函数的确定以及等腰三角形的判定等知识点．要注意的是（3）题中在不确定等腰三角形的腰和底的情况下腰分类讨论，不要漏解．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，已知抛物线与x轴交于A（-1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点精英家教网C（0，3）．
    （1）求抛物线的解析式；
    （2）求直线BC的函数解析式；
    （3）在抛物线上，是否存在一点P，使△PAB的面积等于△ABC的面积，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
    （4）点Q是直线BC上的一个动点，若△QOB为等腰三角形，请写出此时点Q的坐标．（可直接写出结果）

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x=1，且抛物线经过A（-1，0）精英家教网、C（0，-3）两点，与x轴交于另一点B．
    （1）求这条抛物线所对应的函数关系式；
    （2）在抛物线的对称轴x=1上求一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，并求出此时点M的坐标．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2013•衡阳）如图，已知抛物线经过A（1，0），B（0，3）两点，对称轴是x=-1．
    （1）求抛物线对应的函数关系式；
    （2）动点Q从点O出发，以每秒1个单位长度的速度在线段OA上运动，同时动点M从O点出发以每秒3个单位长度的速度在线段OB上运动，过点Q作x轴的垂线交线段AB于点N，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒．
    ①当t为何值时，四边形OMPQ为矩形；
    ②△AON能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，且抛物线经过A（-1，0）、C（0，-3）两点，与x轴交于另一点B．
    （1）求这条抛物线所对应的函数关系式；
    （2）点P是抛物线对称轴上一点，若△PAB∽△OBC，求点P的坐标．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点是（-1，-4），且与x轴交于A、B（1，0）两点，交y轴于点C；
    （1）求此抛物线的解析式；
    （2）①当x的取值范围满足条件
    -2＜x＜0
    -2＜x＜0
    时，y＜-3；
         ②若D（m，y1），E（2，y2）是抛物线上两点，且y1＞y2，求实数m的取值范围；
    （3）直线x=t平行于y轴，分别交线段AC于点M、交抛物线于点N，求线段MN的长度的最大值；
    （4）若以抛物线上的点P为圆心作圆与x轴相切时，正好也与y轴相切，求点P的坐标．

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