Question

老师给小明出了一道题，小明感到有困难，请你帮助小明解决这个问题．
题目是这样的：一个三角形两边长分别是6和8，第三边长是x²-16x+60=0的一个实数根，画出所有情况的示意图并且求出该三角形的面积．

Answer 1

分析：首先解方程求得第三边的长度，然后分情况计算，当第三边是6时，三角形是等腰三角形，作出底边上的高线，根据勾股定理求得高线的长，即可求得三角形的面积；
当第三边长是10时，可以利用勾股定理的逆定理证得△ABC是直角三角形，即可求得面积．

解答：解：解方程x²-16x+60=0得：x₁=6，x₂=10．
当第三边长是6时，如图（1），AB=AC=6，BC=8．作AD⊥BC于D．
∴BD=

1

2

BC=4，
在直角△ABD中，AD=

AB2-BD2

=

62-42

=2

5

．
∴△ABC的面积=

1

2

BC•AD=

1

2

×8×2

5

=8

5

；
当第三边是10时，如图（2），
∵10²=6²+8²，
∴AB²=AC²+BC²．
∴△ABC是直角三角形．
∴△ABC的面积是：

1

2

AC•BC=

1

2

×6×8=24．

点评：本题考查了一元二次方程的解法以及等腰三角形的性质，勾股定理的逆定理，正确理解等腰三角形的性质是关键．