Question

如图，已知⊙B的半径r=1，PA、PO是⊙B的切线，A、O是切点．过点A作弦AC∥PO，连接CO、AO（如图1）．
（1）问△PAO与△OAC有什么关系？证明你的结论；
（2）把整个图形放在直角坐标系中（如图2），使OP与x轴重合，B点在y轴上．
设P（t，0），P点在x轴的正半轴上运动时，四边形PACO的形状随之变化，当这图形满足什么条件时，四边形PACO是菱形？说明理由．

Answer 1

分析：（1）两三角形相似，根据平行线可得一组对应角相等，根据弦切角可得另一组对应角相等；
（2）如果PACO是菱形，那么PA=PO=OC=OA=AC，△OAC就是等边三角形，那么可过B作等边三角形边上的高，通过构建的直角三角形来求t的值．

解答：解：（1）结论：两三角形相似．
证明：∵PA是圆的切线，
∴∠PAO=∠C
∵AC∥PO
∴∠CAO=∠POA
∴△PAO∽△OCA；

（2）当四边形PACO是菱形时，PA=PO=OC=AC=t
∵PA=OP，△PAO∽△OCA
∴OC=OA
∴△OCA是等边三角形
过B作BH⊥AC于H，连接BC，
直角△BCH中，∠CBH=60°，BC=1，CH=

t

2

CH=BC•sin60°=

3

2

=

1

2

，
t=

3

因此当P点坐标是（

3

，0）时，四边形PACO是菱形．

点评：本题主要考查了切线的性质，菱形的判定以及相似三角形的判定和性质等知识点．