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6.如图,点P(4,1)在双曲线y=$\frac{k}{x}$(x>0)上.
(1)则k的值为4;
(2)若正方形ABCD的顶点B,C在双曲线y=$\frac{k}{x}$(x>0)上,顶点A,D分别在x轴和y轴的正半轴上,求点C的坐标.

分析 (1)将点P的坐标代入双曲线解析式中解答即可;
(2)过点B作BE⊥OA于点E,过点C作CF⊥OD于点F,易证得:△DOA≌△AEB≌△CFD,易得B(a+b,a),C(b,a+b),继而求得a的值,则可求得点C的坐标.

解答 解:(1)点P(4,1)在双曲线y=$\frac{k}{x}$上,
将x=4,y=1代入解析式可得:
k=4;
故答案为:4;

(2)过点B作BE⊥OA于点E,过点C作CF⊥OD于点F,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD=DC,∠CDA=90°,
∴∠FDC+∠ODA=90°,
∵∠CFD=∠DOA=90°,
∴∠FCD+∠FDC=90°,
∴∠FDC=∠OAD,
在△CFD和△AOD中,
$\left\{\begin{array}{l}{∠CFD=∠DOA}\\{∠FDC=∠OAD}\\{DC=AD}\end{array}\right.$,
∴△CFD≌△AOD(AAS),
同理可得:△DOA≌△AEB≌△CFD,
∴CF=OD=AE=b,DF=OA=BE=a,
设A(a,0),D(0,b),
则B(a+b,a),C(b,a+b),
可得:b(a+b)=4,a(a+b)=4,
解得:a=b=$\sqrt{2}$.
所以点C的坐标为:($\sqrt{2}$,2$\sqrt{2}$).

点评 此题属于反比例函数的综合题,考查了待定系数法求函数的解析式、正方形的性质与判定、全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识.此题难度较大,综合性很强,注意掌握辅助线的作法,注意掌握数形结合思想与方程思想的应用.

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