Question

如图，已知：在四边形ABCD中，过C作CE⊥AB于E，并且CD=CB，∠ABC+∠ADC=180°，
（1）求证：AC平分∠BAD；
（2）若AE=3BE=9，求AD的长；
（3）△ABC和△ACD的面积分别为36和24，求△BCE的面积．

Answer 1

分析：（1）作CF⊥AD的延长线于F，再由条件就可以得出△CDF≌△CEB，就可以得出CF=CE，从而得出结论；
（2）先△CAF≌△CBE就可以得出AF=AE，DF=BE，就可以求出AF和DF的值从而得出结论；
（3）设△BCE的面积为x，由△CAF≌△CAE就可以得出S_△CAF=S_△CAE，就可以建立方程24+x=36-x，求出其解即可．

解答：解：（1）作CF⊥AD的延长线于F，
∴∠F=90°．
∵CE⊥AB，
∴∠CEA=∠CEB=90°，
∴∠F=∠CEA=∠CEB．
∵∠ADC+∠CDF=180°，且∠ABC+∠ADC=180°
∴∠CDF=∠B．
在△CDF和△CEB中

∠F=∠CEB ∠CDF=∠B CD=CB

，
∴△CDF≌△CEB（AAS），
∴CF=CE．
∵CF⊥AD，CE⊥AB，
∴AC平分∠BAD；
（2）在Rt△CAF和Rt△CAE中

CF=CE AC=AC

，
∴Rt△CAF≌Rt△CAE（HL），
∴AF=AE．
∵△CDF≌△CEB，
∴DF=EB．
∵3BE=9，
∴BE=3，
∴DF=3．
∵AD=AF-DF，
∴AD=AE-DF．
∵AE=9，
∴AD=9-3=6；
（3）∵△CAF≌△CAE，△CDF≌△CEB，
∴S_△CAF=S_△CAE，S_△CDF=S_△CEB．．
设△BCE的面积为x，则△CDF的面积为x，由题意，得
24+x=36-x，
∴x=6，
答：△BCE的面积为6．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质的运用，角平分线的判定及性质的运用，三角形的面积公式的运用，一元一次方程的运用，解答时证明三角形全等是关键．