Question

如图，在矩形ABCD中，AD=a，AB=b，问：能否在Ab边上找一点E，使E点与C、D的连线将此矩形分成三个彼此相似的三角形？若能找到，这样的E点有几个？若不能找到，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：假设在AB边上存在点E，使Rt△ADE∽Rt△BEC∽Rt△ECD，又设AE=x，则，即，于是将问题转化为关于x的一元二次方程是否有实根，在一定条件下有几个实根的研究，通过构造方程解决问题．
解答：解：假设在AB边上存在点E，使Rt△ADE∽Rt△BEC∽Rt△ECD，
又设AE=x，则，即，即得x²-bx+a²=0
∵△=b²-4a²=（b+2a）（b-2a），所以有
（1）若b+2a＞0，b-2a＜0，△＜0，方程无解，E点不存在；
（2）若b+2a＞0，当b=2a时，△=0，方程有等根，满足条件的E点有且只有一个；
（3）若b+2a＞0，b-2a＞0，则当b＞2a时，△＞0，方程有两个不相等的正根，满足条件的E点有两个，

点评：本题考查了一元二次方程的解的个数的判断，考查了相似三角形对应边比值相等的性质，本题中判断△＞0，△＜0，△=0是解题的关键．