Question

11．如图，在△ABC中，已知∠ABC=120°，AC=4
（1）用直尺和圆规作出△ABC的外接圆⊙O （不写作法，保留作图痕迹）
（2）求∠AOC的度数．
（3）求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）分别作线段AB于BC的垂直平分线相交于点O，以点O为圆心，OA的长为半径画圆即可；
（2）在优弧AC上取点P，连接AP，PC，利用圆内接四边形的性质求出∠P的度数，再由圆周角定理即可得出∠AOC的度数；
（3）过点O作OD⊥AC于点D，利用垂径定理得出AD的长，根据直角三角形的性质即可得出OA的长．

解答 解：（1）如图，⊙O即为所求；

（2）在优弧AC上取点P，连接AP，PC，
∵∠ABC=120°，
∴∠P=180°-120°=60°，
∴∠AOC=2∠P=120°；

（3）过点O作OD⊥AC于点D，
∵AC=4，
∴AD=$\frac{1}{2}$AC=2．
∵∠AOC=120°，OA=OC．
∴∠OAC=$\frac{180°-120°}{2}$=30°，
∴OA=$\frac{AD}{cos30°}$=$\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$$\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$．

点评 本题考查的是作图-基本作图，熟知圆外接四边形的性质及垂径定理是解答此题的关键．