Question

18．如图（1），平面直角坐标系中，一次函数y=-x+1的图象与y轴交于点A，点B是第二象限一次函数y=-x+1的图象上一点，且S_△OAB=3，点C的坐标为（-2，-3）．
（1）求A，B的坐标；
（2）如图（1）若点D是线段BC上一点，且三角形ABD的面积是三角形ABC的一半，求△ABC的面积和点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，如图（2），将线段AC沿直线AB平移，点A的对应点为A₁，点C的对应点为C₁，连接A₁D，C₁D，当△A₁C₁D直角三角形时，求A₁的坐标．

Answer 1

分析 （1）先求点A的坐标，根据三角形面积公式可知：$\frac{1}{2}$|x_B|•OA=3，可得B的横坐标为：-6，因为点B是第二象限一次函数y=-x+1的图象上一点，可得B的坐标；
（2）构建梯形，则S_△ABC=S_梯形ABEF-S_△ACF-S_△BEC代入可得面积；利用三角形中线的性质：将面积分为相等的两部分，反之，可知：D是BC的中点，利用中点坐标公式或构建直角三角形得
点D的坐标；
（3）根据一次函数y=-x+1设A₁的坐标，根据平移规律表示点C₁的坐标，当△A₁C₁D直角三角形时，分三个顶点分别是直角顶点这三种情况进行讨论，利用勾股定理列方程可得x的值，求A₁的坐标．

解答 解：（1）∵一次函数y=-x+1的图象与y轴交于点A，
∴当x=0时，y=1，
∴点A的坐标为（0，1），
∴OA=1
∵S_△OAB=3，
∴$\frac{1}{2}$|x_B|•OA=3，
∴|x_B|=6，
∵点B是第二象限一次函数y=-x+1的图象上一点，
∴B的横坐标为：-6，
则y=-（-6）+1=7，
∴点B的坐标为：（-6，7）；

（2）如图1，过点B作BE⊥x轴，过点C作CF⊥y轴于点F，交BE于点E，
∵点C的坐标为（-2，-3），
∴BE=10，EF=6，EC=4，CF=2，AF=4，
∴S_△ABC=S_梯形ABEF-S_△ACF-S_△BEC=$\frac{1}{2}$×（4+10）×6-$\frac{1}{2}$×4×2-$\frac{1}{2}$×10×4=18；
∵点D是线段BC上一点，且三角形ABD的面积是三角形ABC的一半，
∴点D是BC的中点，
∴点D的坐标为：（-4，2）；

（3）如图2，∵A（0，1），C（-2，-3），
∴由平移可知：点C是点A向左平移2个单位，再向下平移4个单位所得，
设A₁（x，-x+1），则C₁（x-2，-x+1-4），即（x-2，-x-3），
当△A₁C₁D直角三角形时，分三种情况：
①当∠DA₁C₁=90°时，如图2，由勾股定理得：${A}_{1}{D}^{2}+{A}_{1}{{C}_{1}}^{2}$=$D{{C}_{1}}^{2}$，
∴（x+4）²+（-x+1-2）²+（x-2-x）²+（-x-3+x-1）²=（x-2+4）²+（-x-3-2）²
解得：x=2，
∴A₁（2，-1）；
②当∠A₁C₁D=90°时，如图3，由勾股定理得：${A}_{1}{{C}_{1}}^{2}+{C}_{1}{D}^{2}={A}_{1}{D}^{2}$，
∴（x-2-x）²+（-x-3+x-1）²+（x-2+4）²+（-x-3-2）²=（x+4）²+（-x+1-2）²，
解得：x=-8，
∴A₁（-8，9）；
③当∠A₁DC₁=90°时，如图4和图5，由勾股定理得：A₁D²+C₁D²=A₁C₁²，
∴（x+4）²+（-x+1-2）²+（x-2+4）²+（-x-3-2）²=（x-2-x）²+（-x-3+x-1）²，
2x²+12x+13=0，
解得：x=$\frac{-6±\sqrt{10}}{2}$，
∴A₁（$\frac{-6+\sqrt{10}}{2}$，$\frac{8-\sqrt{10}}{2}$）或（$\frac{-6-\sqrt{10}}{2}$，$\frac{8+\sqrt{10}}{2}$）；
综上所述，点A₁的坐标为：（2，-1）或（-8，9）或（$\frac{-6+\sqrt{10}}{2}$，$\frac{8-\sqrt{10}}{2}$）或（$\frac{-6-\sqrt{10}}{2}$，$\frac{8+\sqrt{10}}{2}$）．

点评 本题是一次函数的综合题，考查了一次函数与坐标轴的交点、三角形面积、平移的原则、勾股定理、中点坐标公式，第三问有难度，利用平移规律得出C₁的坐标是关键，并采用了分类讨论的思想，与方程相结合，解决问题．