Question

14．已知；如图，在正方形ABCD中，AC与BD相交于点O，EF，GH都过点O，分别交AD，BC于E，F，交CD，AB于G，H，EF⊥GH，求证：四边形EHFG是正方形．

Answer 1

分析 先由ASA证明△ODG≌△OBH，得出OG=OH，同理：OE=OF，得出四边形EHFG是平行四边形，由对角线互相垂直得出四边形EHFG是菱形，再由ASA证明△DOG≌△COF，得出OG=OF，得出OG=OH=OE=OF，EF=GH，即可得出结论．

解答 证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OB=OC=OD，∠ODG=∠OBH=∠OCF=45°，AC⊥BD，
∴∠COD=90°，
在△ODG和△OBH中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ODG=∠OBH}&{\;}\\{OD=OB}&{\;}\\{∠DOG=∠BOH}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ODG≌△OBH（ASA），
∴OG=OH，
同理：OE=OF，
∴四边形EHFG是平行四边形，
∵EF⊥GH，
∴四边形EHFG是菱形，∠GOF=90°，
∴∠DOG=∠COF，
在△DOG和△COF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ODG=∠OCF}&{\;}\\{OD=OC}&{\;}\\{∠DOG=∠COF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△DOG≌△COF（ASA），
∴OG=OF，
∴OG=OH=OE=OF，
∴EF=GH，
∴四边形EHFG是正方形．

点评 本题考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形和菱形的判定方法；熟练掌握正方形的判定与性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．