Question

17．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，若∠BCD的平分线CE⊥AB于点E，BE=2AE，且四边形AECD的面积为21，则△EBC的面积=24．

Answer 1

分析 延长BA、CD交于点F，过点D作DM⊥AF于点M，根据平行线的性质结合等腰三角形的判定与性质即可得出FM=$\frac{1}{4}$FE，再根据平行线的性质即可得出$\frac{FM}{FE}=\frac{DM}{CE}=\frac{1}{4}$，利用三角形的面积即可得出EF•CE的值，由此即可得出结论．

解答 解：延长BA、CD交于点F，过点D作DM⊥AF于点M，如图所示．
∵∠BCD的平分线CE⊥AB于点E，
∴∠B=∠F，CB=CF，BE=EF．
∵AD∥BC，
∴∠FAD=∠B，
∴∠FAD=∠F，
∴DA=DF，
∵DM⊥AF，
∴FM=$\frac{1}{2}$AF．
∵BE=EF，BE=2AE，
∴AF=AE，
∴FM=$\frac{1}{2}$AF=$\frac{1}{4}$FE．
∵DM⊥AF，CE⊥AB，
∴DM∥CE，
∴$\frac{FM}{FE}=\frac{DM}{CE}=\frac{1}{4}$，
∵S_{四边形AECD}=S_△CEF-S_△DAF=$\frac{1}{2}$EF•CE-$\frac{1}{2}$AF•DM=$\frac{1}{2}$EF•CE-$\frac{1}{16}$EF•DM=21，
∴EF•CE=48，
∴${S}_{△CEF}={S}_{△ACE}=\frac{1}{2}$EF•CE=24．
故答案为：24．

点评 本题考查了角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质以及平行线的性质，解题的关键是找出EF•CE的值．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据等腰三角形的判定定理找出三角形为等腰三角形是关键．