分析 (1)根据抛物线和正方形的对称性求出抛物线的对称轴,结合三角函数即可求出点H的坐标;
(2)写出点D坐标,把点D,点H坐标代入抛物线即可求出抛物线解析式;
(3)由题意知,只要OM=HQ即可,分点Q在H上方和下方进行讨论求解即可.
解答 解:如图1:
(1)由抛物线和正方形的对称性可知,抛物线的对称轴是OA的垂直平分线,
由A(4,0)可知,抛物线的对称轴是直线:x=2,
设直线x=2与BC交于点G,则CG=2,
由CD=3,
∴DG=1,
由GH∥x轴可得,∠GHD=∠OMD,
∴tan∠GHD=$\frac{1}{3}$,
$\frac{GD}{GH}$=$\frac{1}{3}$,GD=1,
解得:GH=3,又正方形边长为4,
可得:4-3=1,
所以点H(2,1);
(2)把点A(4,0)和D(3,4)代入抛物线解析式得,
$\left\{\begin{array}{l}{16a+4b=0}\\{9a+3b=4}\end{array}\right.$,
解得:$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{4}{3}}\\{b=\frac{16}{3}}\end{array}\right.$.
所以抛物线的解析式为:y$y=-\frac{4}{3}{x}^{2}+\frac{16}{3}x$,
(3)如图2:
HQ=OM=5时,以点O、M、Q、H为顶点的四边形是平行四边形,
∵HQ是抛物线的对称轴,
∴H和Q两点的横坐标均为2,
若以点O、M、Q、H为顶点的四边形是平行四边形,
则HQ=OM即可,
又知H点坐标为(2,1),故对Q点进行讨论,
①当Q点在H点上面时,若HQ=OM,可得Q点坐标为(2,6),
②当Q点在H点下面时,可得Q(2,-4).
点评 此题主要考查了点的坐标、直线解析式、抛物线解析式的求法,涉及解直角三角形的知识和平行四边形的性质的运用.
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