Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中（如图），已知点A在x轴的正半轴上，且与原点的距离为3，抛物线y＝ax2﹣4ax+3（a≠0）经过点A，其顶点为C，直线y＝1与y轴交于点B，与抛物线交于点D（在其对称轴右侧），联结BC、CD．

（1）求抛物线的表达式及点C的坐标；

（2）点P是y轴的负半轴上的一点，如果△PBC与△BCD相似，且相似比不为1，求点P的坐标；

（3）将∠CBD绕着点B逆时针方向旋转，使射线BC经过点A，另一边与抛物线交于点E（点E在对称轴的右侧），求点E的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣4x+3，C（2，﹣1）；（2）P（0，4﹣7）；（3）E（4，3）

【解析】

（1）把点A的坐标代入抛物线的解析式中可得：a的值，从而得抛物线的解析式，配方得顶点C的坐标；

（2）根据∠DBC＝∠PBC＝45°，且相似比不为1，所以只能△CBP∽△DBC，列比例式可得BP的长，从而得点P的坐标；

（3）连接AC，过E作EH⊥BD于H，先根据勾股定理的逆定理证明△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB＝90°，由等角三角函数得tan∠ABC＝tan∠EBD＝＝ ，设EH＝m，则BH＝2m，表示E（2m，m+1），代入抛物线的解析式，可得结论．

解：（1）∵点A在x轴的正半轴上，且与原点的距离为3，

∴A（3，0），

把A（3，0）代入抛物线y＝ax2﹣4ax+3中得：0＝9a﹣12a+3，

∴a＝1，

∴抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x+3，

y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，

∴C（2，﹣1）；

（2）当y＝1时，x2﹣4x+3＝1，

解得：x1＝2﹣，x2＝2+，

由题意得：D（2+，1），

∵B（0，1），C（2，﹣1），

∴BC＝＝2，BD＝2+，

∵∠DBC＝∠PBC＝45°，且相似比不为1，

只能△CBP∽△DBC，

∴，即，

∴BP＝8﹣4，

∴P（0，4﹣7）；

（3）连接AC，过E作EH⊥BD于H，

由旋转得：∠CBD＝∠ABE，

∴∠EBD＝∠ABC，

∵AB2＝32+12＝10，BC2＝22+22＝4，AC2＝12+12＝2，

∴AB2＝BC2+AC2，

∴△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB＝90°，

∴tan∠ABC＝＝，

∴tan∠EBD＝＝，

设EH＝m，则BH＝2m，

∴E（2m，m+1），

∵点E在抛物线上，

∴（2m）2﹣4×2m+3＝m+1，

4m2﹣9m+2＝0，

解得：m1＝2，m2＝（舍），

∴E（4，3）．