Question

如图，已知⊙O₁和⊙O₂外切于P点，连心线分别交两个圆于C、D两点．AM切⊙O₁、⊙O₂于A、B两点，交CD的延长线于M，作MN⊥AM，AP的延长线交MN于N，CN交⊙O₁于E．若CO₁＝3，DM＝1．求PE·CN的值．

Answer 1

答案：
解析：

证明：(见答图) 　　连结AO1，BO2．设⊙O2的半径为r， 　　由于AB是公切线， 　　∴O1A⊥AB，O2B⊥AB． 　　∴O1A∥O2B． 　　∴＝． 　　∴2r2＋r－3＝0，得r＝1． 　　∴O2M＝2O2B． 　　∴∠AMO2＝，∠AO1M＝． 　　∴△AO1P为正三角形． 　　∴PM＝PO1＝PA＝3． 　　在Rt△AMN中，∠ANM＝，∠PMN＝， 　　∴△PNM也是正三角形． 　　∴PN＝3．于是AN＝6． 　　连结CA、PE，则 　　CA⊥AN，CA＝＝3． 　　S△CAN＝·AN·CA＝×6×3＝9， 　　S△CPN＝PE·CN． 　　又∵PN＝AN＝3， 　　∴S△CAN＝2S△CPN． 　　∴·PE·CN＝． 　　∴PE·CN＝9．