Question

10．如图1，已知：当点C在线段AB外，且∠ACB＜120°，分别以AC、BC为边，在AB同侧作等边三角形ACE和BCD，连按AD、BE交于点P．
（1）求证：AD=BE；
（2）求∠APE的度数；
（3）如图2，连接CP，求证：①CP平分∠DPE；
②求证：PC+PA=PE．

Answer 1

分析 （1）只要证明△ECB≌△ACD即可．
（2）如图1中，利用“8字型”由∠OEC=∠OAP推出∠ECO=∠APO，由此即可证明．
（3）①如图2中，作CG⊥BE，CF⊥AD垂足分别为G、F，利用面积法即可证明．
②如图2中，在PE上截取一点K使得AK=AP，先证明△AKP是等边三角形，再证明△EAK≌△CAP即可．

解答 （1）证明：如图1中，∵△ABC，△BDC是等边三角形，
∴CE=AC，CD=CB，∠ACE=∠DCB=60°，
∴∠ECB=∠ACD，
在△ECB和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{EC=AC}\\{∠ECB=∠ACD}\\{BC=CD}\end{array}\right.$，
∴△ECB≌△ACD，
∴AD=BE．
（2）解：如图1中，设BE与AC交于点O．
∵△ECB≌△ACD，
∴∠CEB=∠CAD，
∵∠CEO+∠EOC+∠ECO=180°，∠OAP+∠OPA+∠AOP=180°，∠EOC=∠AOP，∠ECA=60°，
∴∠OPA=∠ECO=60°，
∴∠APE=60°．
（3）①如图2中，作CG⊥BE，CF⊥AD垂足分别为G、F．
∵△GCB≌△ACD，
∴S_△ECB=S_△ACD，
∴$\frac{1}{2}$•EB•CG=$\frac{1}{2}$•AD•CF，
∵AD=EB，
∴CG=CF，
∴CP平分∠EPD．
②如图2中，在PE上截取一点K使得AK=AP，
∵∠APE=60°，
∴△APK是等边三角形，
∴∠EAC=∠KAP=60°，AK=AP=PK，
∴∠EAK=∠CAP，
在△EAK和△CAP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AC}\\{∠EAK=∠CAP}\\{AK=AP}\end{array}\right.$，
∴△EAK≌△CAP，
∴EK=PC，
∴PE=PK+EK=PA+PC．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、角平分线的判定等知识，添加辅助线是解决问题的关键，学会利用面积法证明高相等，属于中考常考题型．