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3.如图,已知,AB是⊙O的直径,点P在AB的延长线上,弦CE交AB于点,连结OE,AC,且∠P=∠E,∠POE=2∠CAB.
(1)求证:CE⊥AB;
(2)求证:PC是⊙O的切线;
(3)若BD=2OD,且PB=9,求⊙O的半径长和tan∠P的值.

分析 (1)只要证明∠DOC=∠DOE,利用等腰三角形的三线合一即可证明;
(2)欲证明PC是⊙O的切线,只要证明∠OCP=90°即可;
(3)设⊙O的半径为r,OD=x,则BD=2x,r=3x,易证得Rt△OCD∽Rt△OPC,根据相似三角形的性质得OC2=OD•OP,即(3x)2=x•(3x+9),解出x,即可得圆的半径;同理可得PC2=PD•PO=(PB+BD)•(PB+OB)=162,可计算出PC,然后在Rt△OCP中,根据正切的定义即可得到tan∠P的值.

解答 (1)证明:连接OC,
∴∠COB=2∠CAB,
又∠POE=2∠CAB.
∴∠COD=∠EOD,
又∵OC=OE,
∴∠ODC=∠ODE=90°,
即CE⊥AB;

(2)证明:∵CE⊥AB,∠P=∠E,
∴∠P+∠PCD=∠E+∠PCD=90°,
又∠OCD=∠E,
∴∠OCD+∠PCD=∠PCO=90°,
∴PC是⊙O的切线;

(3)解:设⊙O的半径为r,OD=x,则BD=2x,r=3x,
∵CD⊥OP,OC⊥PC,
∴Rt△OCD∽Rt△OPC,
∴OC2=OD•OP,即(3x)2=x•(3x+9),
解之得x=$\frac{3}{2}$,
∴⊙O的半径r=$\frac{9}{2}$,
同理可得PC2=PD•PO=(PB+BD)•(PB+OB)=162,
∴PC=9 $\sqrt{2}$,
在Rt△OCP中,tan∠P=$\frac{OC}{PC}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$.

点评 本题考查切线的判定和性质、垂径定理、勾股定理、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质等知识,解题的关键是学会条件出发与直线,灵活运用所学知识解决问题,学会构建方程解决问题,属于中考常考题型.

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