Question

8．已知两个二次函数y₁=x²+bx+c和y₂=x²+m．对于函数y₁，当x=2时，该函数取最小值．
（1）求b的值；
（2）若函数y₁的图象与坐标轴只有2个不同的公共点，求这两个公共点间的距离；
（3）若函数y₁、y₂的图象都经过点（1，-2），过点（0，a-3）（a为实数）作x轴的平行线，与函数y₁、y₂的图象共有4个不同的交点，这4个交点的横坐标分别是x₁、x₂、x₃、x₄，且x₁＜x₂＜x₃＜x₄，求x₄-x₃+x₂-x₁的最大值．

Answer 1

分析 （1）由于题意知x=2时，该函数取得最小值，所以x=2时该函数y₁的对称轴；
（2）若函数y₁的图象与坐标轴只有2个不同的公共点，则分为两种情况讨论，一种是抛物线与x轴有两个交点时，另一种是抛物线与x轴有1个交点，然后分别求出C的值即可；
（3）函数y₁与y₂经过（1，-2），所以可求出c与m的值，根据函数解析式画出图象可知，若过点（0，a-3）（a为实数）作x轴的平行线，与函数y₁、y₂的图象共有4个不同的交点时，则-3＜a-3＜-2或a-3＞-2．

解答 解：（1）由题意知：函数y₁的对称轴为x=2，
∴-$\frac{b}{2}$=2，
∴b=-4，

（2）由题意知：△=b²-4c=16-4c，
当△＞0时，
∴c＜4，
此时函数y₁与x轴有两个不同的交点，
由于若函数y₁的图象与坐标轴只有2个不同的公共点，
∴c=0，
∴y₁=x²-4x，
令y₁=0，
∴x=0或x=4，
∴两个公共点间的距离为4，
当△=0时，
∴c=4，
此时抛物线与x轴只有一个交点，与y轴只有一个交点，
∴两个公共点间的距离，由勾股定理可求得：$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，

（3）∵函数y₁、y₂的图象都经过点（1，-2），
∴将（1，-2）代入函数y₁和函数y₂，
∴-2=1-4+c，
-2=1+m，
∴c=1，m=-3，
∴函数y₁=x²-4x+1，函数y₂=x²-3，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}-4x+1}\\{y={x}^{2}-3}\end{array}\right.$
解得：x=1，y=-2，
∵过点（0，a-3）作x轴的平行线，与函数y₁、y₂的图象共有4个不同的交点，
∴-3＜a-3＜-2或a-3＞-2
当-3＜a-3＜-2时，如图1，
即0＜a＜1，
令y=a-3代入y₁，
∴x²-4x+4-a=0，
∴x₃=2-$\sqrt{a}$，x₄=2+$\sqrt{a}$，
令y=a-3代入y₂，
a-3=x₂-3，
∴x₁=-$\sqrt{a}$，x₂=$\sqrt{a}$，
∴x₄-x₃+x₂-x₁=4$\sqrt{a}$，
∵0＜a＜1，
∴0＜4$\sqrt{a}$＜4，
当a-3＞-2，如图2，
即a＞1，
令y=a-3代入y₁，
∴x²-4x+4-a=0，
∴x₂=2-$\sqrt{a}$，x₄=2+$\sqrt{a}$，
令y=a-3代入y₂，
a-3=x₂-3，
∴x₁=-$\sqrt{a}$，x₃=$\sqrt{a}$，
∴x₄-x₃+x₂-x₁=4，
综上所述，过点（0，a-3）（a为实数）作x轴的平行线，与函数y₁、y₂的图象共有4个不同的交点时，x₄-x₃+x₂-x₁的最大值为4．

点评 本题考查函数的综合问题，涉及待定系数法求解析式，二次函数图象的性质，一元二次方程的解法和数形结合的思想，综合程度较高，需要学生利用数形结合的思想解决问题．