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已知:如图,二次函数y=x2+(2k-1)x+k+1的图象与x轴相交于O、A两点.
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B,使锐角△AOB的面积等于3.求点B的坐标;
(3)对于(2)中的点B,在抛物线上是否存在点P,使∠POB=90°?若存在,求出点P的坐标,并求出△POB的面积;若不存在,请说明理由.

【答案】分析:(1)将原点坐标代入抛物线中即可求出k的值,也就得出了抛物线的解析式.
(2)根据(1)得出的抛物线的解析式可得出A点的坐标,也就求出了OA的长,根据三角形OAB的面积可求出B点纵坐标的绝对值,由于三角形AOB是锐角三角形那么B点必在x轴下方,根据这个条件可将不合题意的B点纵坐标舍去,然后将符合题意的B点纵坐标代入抛物线的解析式中即可求出B点的坐标,然后根据B点在抛物线对称轴的右边来判断得出的B点是否符合要求即可.
(3)根据B点坐标可求出直线OB的解析式,由于OB⊥OP,因此两直线的斜率的积为-1,由此可求出直线OP的解析式,联立直线OP和抛物线的解析式,可得出P点的坐标.
求三角形POB的面积时,如果设直线BP与x轴的角度为Q的话,三角形POB的面积可分成三角形OBQ和三角形OPQ两部分来求.可先求出直线BP的解析式即可的直线BP与x轴交点坐标,然后按上面分析的三角形BOP的面积计算方法进行求解即可.
解答:解:(1)∵y=x2+(2k-1)x+k+1过(0,0),
∴k+1=0,k=-1,
y=x2-3x.

(2)设B(x,y),
∵y=x2-3x的对称轴为直线x=
∴x,y<0,
易知:A(3,0),即OA=3,
又∵×OA•|y|=3
∴y=±2
当y=-2时,-2=x2-3x
解得,x=2,x=1(舍去);
∴B(2,-2);

(3)当B(2,-2)时,直线OB的解析式为y=-x,
∵B0⊥PO,
∴直线0P的解析式为y=x,
∵两函数相交
∴P1(0,0)舍去,P2(4,4);
由勾股定理算出OB=2,OP=4
S△OPB=×2×4=8.
点评:本题考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点、图象面积求法等知识.
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已知:如图,二次函数y=x2-4的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的精英家教网左边),与y轴交于点C.直线x=m(m>2)与x轴交于点D.
(1)求A、B、C三点的坐标;
(2)在直线x=m(m>2)上有一点P(点P在第一象限),使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似,求P点的坐标(用含m的代数式表示);
(3)在(2)成立的条件下,试问:抛物线y=x2-4上是否存在一点Q,使得四边形ABPQ为平行四边形?如果存在这样的点Q,请求出m的值;如果不存在,请简要说明理由.

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精英家教网已知,如图,二次函数y=ax2+2ax-3a(a≠0)图象的顶点为H,与x轴交于A、B两点(B在A点右侧),点H、B关于直线l:y=
3
3
x+
3
对称.
(1)求A、B两点坐标,并证明点A在直线l上;
(2)求二次函数解析式;
(3)过点B作直线BK∥AH交直线l于K点,M、N分别为直线AH和直线l上的两个动点,连接HN、NM、MK,求HN+NM+MK和的最小值.

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(2013•闸北区一模)已知:如图,二次函数y=
2
3
x2-
4
3
x-
16
3
的图象与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧),抛物线的顶点为Q,直线QB与y轴交于点E.
(1)求点E的坐标;
(2)在x轴上方找一点C,使以点C、O、B为顶点的三角形与△BOE相似,请直接写出点C的坐标.

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已知:如图,二次函数y=ax2-2ax+c(a≠0)的图象与y轴交于点C(0,4),与x轴交于点A、B,点A的坐标为(4,0).
(1)求该二次函数的关系式;
(2)写出该二次函数的对称轴和顶点坐标;
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(4)若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P,与直线AC交于点F,点D的坐标为(2,0).问:是否存在这样的直线l,使得△ODF是等腰三角形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

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