Question

5．如图甲，直线PA交⊙O于A、E两点，PA的垂线CD切⊙O于点C，过点A作⊙O的直径AB．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）将直线CD向下平行移动，在将直线CD向下平行移动的过程中，如图乙、丙，试指出与∠DAC相等的角（不要求证明）．
（3）在图甲中，若DC+DA=6，⊙O的直径为10，求AE的长度．

Answer 1

分析 （1）连接OC，由切线的性质可知CD⊥OC，从而可证明OC∥PA，可得到∠PAC=∠OCA，然后再根据OA=OC，可知∠OAC=∠OCA，从而可证明∠OAC=∠PAC；
（2）如图2、图3，连接BC，利用直径所对的圆周角等90°以及同角或等角的余角相等以及同弧所对的圆周角相等进行证明即可；
（3）如图4，连接OC，过点A作AF⊥CO，垂足为F，连接CB、CE，首先证明四边形AFCD为矩形，故此DC=AF，AD=CF，设AD的长为x，则AF=6-x，CF=5-x．
在Rt△AFO中，由OA²=AF²+OF²，得25=（6-x）²+（5-x）²，从而可得到AD=2，DC=4，然后再证明△EDC∽△ADC，由相似三角形的性质可求得ED=8，可求得AE=6．

解答 （1）证明：如图1，连接OC，

∵OA、OC是⊙O的半径，
∴OA=OC．
∴∠OAC=∠OCA．
∵CD切⊙O于点C，
∴CD⊥OC．
又∵CD⊥PA，
∴OC∥PA．
∴∠PAC=∠OCA．
∴∠OAC=∠PAC．
∴AC平分∠DAB；
解：（2）∠DAC=∠BAF，
理由：如图2，连接BC．

∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
∴∠ACF+∠BCF=90°
又∵在Rt△ACD中，∠CAD+∠ACD=90°，
∴∠CAD=∠FCB．
又∵∠FAB=∠FCB，
∴∠DAC=∠BAF．
如图3

∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
∴∠CAB+∠CBA=90°
又∵∠FAD+∠AFD=90°，∠DFA=∠CBA，
∴∠DAF=∠CAB．
∴∠DAF-∠CAF=∠CAB-∠CAF．
∴∠DAC=∠BAF．
（3）如图4所示：连接OC，过点A作AF⊥CO，垂足为F，连接CB、CE．

∵DC⊥AE，OC⊥DC，AF⊥CO，
∴四边形AFCD为矩形．
∴DC=AF，AD=CF．
设AD的长为x，则AF=6-x，OF=5-x．
在Rt△AFO中，OA²=AF²+OF²，即：25=（6-x）²+（5-x）²，
解得：x₁=2，x₂=9（舍去）
∴AD=2，DC=4．
由（1）可知：∠DAC=∠BAF．
又∵∠CAD+∠DCA=90°，∠CAB+∠ABC=90°
∴∠DCA=∠CBA．
∵∠DEC=∠ABC，
∴∠DEC=∠DCA．
又∵∠EDC=∠ADC，
∴△EDC∽△ADC．
∴$\frac{DE}{DC}=\frac{DC}{AD}$，即：$\frac{ED}{4}=\frac{4}{2}$．
∴ED=8．
∴AE=6．

点评 本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了圆周角定理，切线的性质、相似三角形的性质和判定、矩形的性质和判定和勾股定理，利用圆周角定理进行角的转化是解题的关键．