Question

12．已知反比例函数y=$\frac{k}{x}$与一次函数y=ax+b的图象交于A（1，8），B（-4，m），
（1）求k，a，b的值：
（2）求△AOB的面积；
（3）若已知M（a，b），N$（\frac{1}{a}，c）$是双曲线y=$\frac{k}{x}$上两点，且一1＜a＜0，则b-c的值是负数（填入：正数，负数或0）

Answer 1

分析 （1）根据反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象经过A（1，8），利用待定系数法即可求出k；进而求得B的坐标，根据A、B点坐标，进而利用待定系数法求出a、b的值；
（2）将三角形AOB分割为S_△AOB=S_△BOC+S_△AOC，求出即可；
（3）将M（a，b），N$（\frac{1}{a}，c）$代入反比例函数解析式，建立起b和c的数量关系，用c表示b，再判断b-c的符号．

解答 解：（1）因为反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象经过A（1，8），所以k=1×8=8．
因为B（-4，m）在反比例函数y=$\frac{k}{x}$上，所以-4m=8，
∴m=-2，
所以B的坐标是（-4，-2）．
把A（1，8）、B（-4，-2）代入y=ax+b．得：$\left\{\begin{array}{l}{a+b=8}\\{-4a+b=-2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=6}\end{array}\right.$．

（2）设一次函数y=ax+b的图象与y轴交于C，则C（0，6）．
所以：S_△AOB=S_△BOC+S_△AOC=$\frac{1}{2}$×6×4+$\frac{1}{2}$×6×1=15．

（3）∵反比例函数y=$\frac{8}{x}$，M（a，b），N$（\frac{1}{a}，c）$是双曲线y=$\frac{8}{x}$上两点，
∴8a=c，b=$\frac{8}{a}$，
∴b-c=$\frac{8}{a}$-8a=$\frac{8（1-{a}^{2}）}{a}$=$\frac{8（1+a）（1-a）}{a}$，
∵-1＜a＜0
∴1+a＞0，1-a＞0，a＜0，
∴$\frac{8（1+a）（1-a）}{a}$＜0，
∴b-c＜0，
故答案为：负数．

点评 此题主要考查了待定系数法求出反比例函数、一次函数解析式、反比例函数图象上点的坐标特征以及求三角形面积等知识，根据已知得出B点坐标以及得出S_△AOB=S_△BOC+S_△AOC是解题关键．