Question

10．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（-1，-1），P（0，n）为y轴上一点，以AP为边作正方形APFG（A，P，F，G的位置依次为顺时针方向排列），当点F或G恰好落在反比例函数y=$\frac{8}{x}$图象上，则n的值-3或-4或3．

Answer 1

分析 分类讨论：如图，当n＞0时，作FM⊥y轴于M，AN⊥y轴于N，先证明△APN≌△PFM，得到AN=PM=1，PN=FM=n+1，则F（n+1，n-1），根据反比例函数图象上点的坐标特征有（n+1）（n-1）=8，解得n₁=3，n₂=-3（舍去），即n的值为3；当n＜0时，四边形AP′F′G′为正方形，作F′G⊥y轴于Q，G′H⊥AN于H，如图，P′（0，n），同样方法可证明△ANP′≌△P′QF′≌△G′HA，则AN=P′Q=G′H=1，NP′=F′Q=AH=-1-n，所以F′（n+1，n-1），G′（n，-2），根据反比例函数图象上点的坐标特征（n+1）（n-1）=8或-2n=8，然后分别解方程求出对应n的值．

解答 解：如图，当n＞0时，作FM⊥y轴于M，AN⊥y轴于N，
∵A（-1，-1），P（0，n），
∴AN=1，PN=n+1，
∵四边形APFG为正方形，
∴AP=FM，∠APF=90°，
即∠APN+∠FPM=90°，
∵∠APN+∠PAN=90°，
∴∠PAN=∠FPM，
在△APN和△PFM中
$\left\{\begin{array}{l}{∠ANP=∠PMF}\\{∠PAN=FPM}\\{AP=PF}\end{array}\right.$，
∴△APN≌△PFM，
∴AN=PM=1，PN=FM=n+1，
∴F（n+1，n-1），
当F（n+1，n-1）在反比例函数y=$\frac{8}{x}$图象上，
∴（n+1）（n-1）=8，解得n₁=3，n₂=-3（舍去），即n的值为3；
当n＜0时，四边形AP′F′G′为正方形，作F′G⊥y轴于Q，G′H⊥AN于H，如图，P′（0，n），
同样方法可证明△ANP′≌△P′QF′≌△G′HA，
∴AN=P′Q=G′H=1，NP′=F′Q=AH=-1-n，
∴F′（n+1，n-1），G′（n，-2），
当F′（n+1，n-1）在反比例函数y=$\frac{8}{x}$图象上，则（n+1）（n-1）=8，解得n₁=-3，n₂=3（舍去），即n的值为-3；
当G′（n，-2）在反比例函数y=$\frac{8}{x}$图象上，则-2n=8，解得n=-4，
综上所述，n的值为-3或-4或3．
故答案为-3或-4或3．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．也考查了正方形的性质．本题的关键是根据题意画出几何图形．