【题目】已知,正方形ABPD的边长为3,将边DP绕点P顺时针旋转90°至PC,E、F分别为线段DP、CP上两个动点(不与D、P、C重合),且DE=CF,连接BE并延长分别交DF、DC于H、G.
(1)①求证:△BPE≌△DPF,②判断BG与DF位置关系并说明理由;
(2)当PE的长度为多少时,四边形DEFG为菱形并说明理由;
(3)连接AH,在点E、F运动的过程中,∠AHB的大小是否发生改变?若改变,请说出是如何变化的;若不改变,请求出∠AHB的度数.
【答案】(1)①见解析,②BG⊥DF;(2)当PE=3﹣3时,四边形DEFG为菱形;
(3)45°.
【解析】分析:
(1)①由已知条件易得BP=DP=PC,∠BPE=∠DPF=90°结合DE=CF可得PE=PF,由此即可得到△BPE≌△DPF;②由△BPE≌△DPF可得∠EBP=∠FDP,结合∠FDP+∠BFH=90°,可得∠EBP+∠BFH=90°,从而可得∠BHP=90°,由此可得BG⊥DF;
(2)如下图1,连接EF、GF,由题意可知,要使四边形DEFG是菱形,则必须使DE=EF,由(1)中所得△BPE≌△DPF可得PF=PE,设PE=x,则DE=3-x=EF,由此在Rt△PEF中由勾股定理建立方程,解方程即可求得此时PE=x=,解题时把PE=
作为一个条件,结合题目中的其它条件去证明此时四边形DEFG为菱形即可;
(3)如图2,连接BD,作出BD的中点O,连接AO,HO,由已知条件结合(1)中所得BG⊥DF易得OA=OB=OD=OH=BD,由此可得点A、B、H、D在以O为圆心、OA为半径的圆上,从而可得∠AHB=∠ADB=45°.
详解:
(1)①证明:由旋转的性质可知,△DPC是等腰直角三角形,
∵四边形ABPD是正方形,
∴BP=PD=PC,∠BPE=∠DPF=90°,
∵DE=CF,
∴PE=PF,
在△BPE和△DPF中,
BP=PD,∠BPE=∠DPF,PE=PF,
∴△BPE≌△DPF;
②∵△BPE≌△DPF,
∴∠EBP=∠FDP,又∠FDP+∠BFH=90°,
∴∠EBP+∠BFH=90°,
∴∠BHP=90°,
∴BG⊥DF;
(2)当PE=时,四边形DEFG为菱形;理由如下:
在正方形ABPD中,BP=PD=3,
∵PE=,EF=PE,
∴EF==6﹣3
,DE=PD-PE=6﹣3
,
∴EF=ED,
∵BG⊥DF,
∴EG垂直平分DF,
∴GD=GF,
∵∠PEF=∠PDC=45°,
∴EF∥DG,
∴∠EFD=∠FDG,
∵DE=EF,
∴∠EFD=∠EDF,
∴∠EDG=∠FDE,
∵BG⊥DF,
∴∠DEG=∠DGE,
∴DE=DG,
∴DE=DG=GF=EF,
∴四边形DEFG是菱形;
(3)∠AHB的大小不变,∠AHB=45°,
连接BD,取BD的中点O,连接OA、OH,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠BAD=90°,∠ADB=45°,
∵BG⊥DF,
∴∠DHB=90°,
则OA=OB=OD=OH=BD,
∴点A、B、H、D在以O为圆心、OA为半径的圆上,
∴∠AHB=∠ADB=45°.
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【题目】五一假期小明一家自驾去距家360km的某地游玩,全程的前一部分为高速公路,后一部分为乡村公路.若小汽车在高速公路和乡村公路上分别以某一速度匀速行驶,行驶的路程y(单位:km)与时间x(单位:h)之间的关系如图所示,则下列结论正确的是( )
A. 小汽车在乡村公路上的行驶速度为60km/h
B. 小汽车在高速公路上的行驶速度为120km/h
C. 乡村公路总长为90km
D. 小明家在出发后5.5h到达目的地
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【题目】如图,在△ABC中,AB=4,AC=6,∠ABC和∠ACB的平分线交于O点,过点O作BC的平行线交AB于M点,交AC于N点,则△AMN的周长为( )
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
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【题目】中国海军亚丁湾护航十年,中国海军被亚丁湾上来往的各国商船誉为“值得信赖的保护伞”如图,在一次护航行动中,我国海军监测到一批可疑快艇正快速向护航的船队靠近.为保证船队安全,我国海军迅速派出甲、乙两架直升机分别从相距20海里的船队首(O点)尾(A点)前去拦截,4分钟后同时到达B点将可疑快艇驱离.已知甲直升机每小时飞行180海里,航向为北偏东25°,乙直升机的航向为北偏西65°,求乙直升机的飞行速度.
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【题目】如图所示,CD为⊙O的直径,点B在⊙O上,连接BC、BD,过点B的切线AE与CD的延长线交于点A,OE∥BD,交BC于点F,交AB于点E.
(1)求证:∠E=∠C;
(2)若⊙O的半径为3,AD=2,试求AE的长;
(3)求△ABC的面积.
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【题目】如图,在RI△ABC中,∠C=90°,AC=BC=4cm,点P从点A出发沿线段AB以cm/s的速度向点B运动,设运动时间为ts.过点P作PD⊥AB,PD与△ABC的腰相交于点D.
(1)当t=(4-2)s时,求证:△BCD≌△BPD;
(2)当t为何值时,S△APD=3S△BPD,请说明理由.
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【题目】长方形放置在如图所示的平面直角坐标系中,点
轴,
轴,
.
(1)分别写出点的坐标______;______;________.
(2)在轴上是否存在点
,使三角形
的面积为长方形ABCD面积的
?若存在,请直接写出点
的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】.中学生带手机上学的现象越来越受到社会的关注,为此某记者随机调查了某市城区若干名中学生家长对这种现象的态度(态度分为:A.无所谓;B.基本赞成;C.赞成;D.反对).并将调查结果绘制成频数折线统计图1和扇形统计图2(不完整).请根据图中提供的信息,解答下列问题:
(1)此次抽样调查中,共调查了 名中学生家长;
(2)求出图2中扇形C所对的圆心角的度数,并将图1补充完整;
(3)根据抽样调查结果,请你估计该市城区6000名中学生家长中有多少名家长持反对态度.
图1 图2
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【题目】如图1,在矩形纸片ABCD中,AB=3cm,AD=5cm,折叠纸片使B点落在边AD上的E处,折痕为PQ,过点E作EF∥AB交PQ于F,连接BF.
(1)求证:四边形BFEP为菱形;
(2)当点E在AD边上移动时,折痕的端点P、Q也随之移动;
①当点Q与点C重合时(如图2),求菱形BFEP的边长;
②若限定P、Q分别在边BA、BC上移动,求出点E在边AD上移动的最大距离.
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