Question

【题目】已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于（x1，0），且﹣1＜x1＜0，对称轴x＝1．如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）．其中所有结论正确的是______（填写番号）．

Answer 1

【答案】③④⑤

【解析】

根据函数图象和二次函数的性质可以判断题目中各个小题的结论是否成立，从而可以解答本题．

解：由图象可得，抛物线开口向下，则a<0，抛物线与y轴交于正半轴，则c>0，对称轴在y轴右侧，则与a的符号相反，故b>0.
∴a＜0，b＞0，c＞0，
∴abc＜0，故①错误，
当x=-1时，y=a-b+c＜0，得b＞a+c，故②错误，
∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于（x1，0），且-1＜x1＜0，对称轴x=1，
∴x=2时的函数值与x=0的函数值相等，
∴x=2时，y=4a+2b+c＞0，故③正确，
∵x=-1时，y=a-b+c＜0，-=1，
∴2a-2b+2c＜0，b=-2a，
∴-b-2b+2c＜0，
∴2c＜3b，故④正确，
由图象可知，x=1时，y取得最大值，此时y=a+b+c，
∴a+b+c＞am2+bm+c（m≠1），
∴a+b＞am2+bm
∴a+b＞m（am+b），故⑤正确，
故答案为：③④⑤．