Question

1．如图，△ABC中，∠C=60°，AD，BE分别平分∠CAB，∠CBA、AD、BE交于点P．求证：
（1）∠APB=120°；
（2）点P在∠C的平分线上；
（3）AB=AE+BD．

Answer 1

分析 （1）由AD、BE是△ABC的角平分线，得到∠ABP=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠BAP=$\frac{1}{2}$∠BAC，根据三角形内角和即可得到结论；
（2）如图1，过P作PF⊥AB，PG⊥AC，PH⊥BC，由AD，BE分别平分∠CAB，∠CBA，得到PF=PG，PF=PH，等量代换得到PH=PG，于是得到结论；
（3）如图2，在AB上取点M使AM=AE，连接PM通过△AMP≌△AEP，得到∠APM=∠APE=180°-∠APB=60°，求得∠BPM=180°-（∠APM+∠APE）=60°，∠BPD=∠APE=60°，得到∠BPM=∠BPD，由BE是∠ABC的角平分线，得到∠MBP=∠DBP，证得△BOM≌△BOD，即可得到结论．

解答 证明：（1）∵∠C=60°，AD、BE是△ABC的角平分线，
∴∠ABP=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠BAP=$\frac{1}{2}$∠BAC，
∴∠BAP+∠MBP=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠BAC）=$\frac{1}{2}$（180°-∠C）=60°，
∴∠APB=120°；

（2）如图1，过P作PF⊥AB，PG⊥AC，PH⊥BC，
∵AD，BE分别平分∠CAB，∠CBA，
∴PF=PG，PF=PH，
∴PH=PG，
∴点P在∠C的平分线上；

（3）如图2，在AB上取点M使AM=AE，连接PM
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠PAM=∠PAE，
在△AMO与△AEO中，$\left\{\begin{array}{l}{AP=AP}\\{∠PAM=∠PAE}\\{AM=AE}\end{array}\right.$，
∴△AMP≌△AEP，
∴∠APM=∠APE=180°-∠APB=60°，
∴∠BPM=180°-（∠APM+∠APE）=60°，∠BPD=∠APE=60°，
∴∠BPM=∠BPD，
∵BE是∠ABC的角平分线，
∴∠MBP=∠DBP，
在△BOM与△BOD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠MBP=∠DBP}\\{BP=BP}\\{∠BPD=∠BPM}\end{array}\right.$，
∴△BOM≌△BOD，
∴BM=BD，
∴AB=AM+BM=AE+BD．

点评 本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．