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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8．折叠纸片使点B落在AD上，落点为B′．点B′从点A开始沿AD移动，折痕所在直线l的位置也随之改变，当直线l经过点A时，点B′停止移动，连接BB′．设直线l与AB相交于点E，与CD所在直线相交于点F，点B′的移动距离为x，点F与点C的距离为y．
    （1）求证：∠BEF=∠AB′B；
    （2）求y与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围．
    考点：翻折变换（折叠问题）,矩形的性质
    专题：综合题
    分析：（1）先由等腰三角形中的三线合一，得出∠BOE=90°，再由∠ABB′+∠BEF=90°，∠ABB′+∠AB′B=90°，得出∠BEF=∠AB′B；
    （2）①当点F在线段CD上时，如图1所示．作FM⊥AB交AB于点E，在Rt△EAB′中，利用勾股定理求出AE，再由tan∠AB′B=tan∠BEF列出关系式写出x的取值范围即可，
    ②当点F在点C下方时，如图2所示．利用勾股定理与三角函数，列出关系式，写出x的取值范围，
    解答：（1）证明：如图，由四边形ABCD是矩形和折叠的性质可知，BE=B′E，∠BEF=∠B′EF，

    ∴在等腰△BEB′中，EF是角平分线，
    ∴EF⊥BB′，∠BOE=90°，
    ∴∠ABB′+∠BEF=90°，
    ∵∠ABB′+∠AB′B=90°，
    ∴∠BEF=∠AB′B；

    （2）解：①当点F在CD之间时，如图1，作FM⊥AB交AB于点M，

    ∵AB=6，BE=EB′，AB′=x，BM=FC=y，
    ∴在Rt△EAB′中，EB′2=AE2+AB′2，
    ∴（6-AE）2=AE2+x2
    解得AE=
    36-x2
    12
    ，
    tan∠AB′B=
    AB
    AB′
    =
    6
    x
    ，
    tan∠BEF=
    MF
    EM
    =
    8
    6-y-
    36-x2
    12
    ，
    ∵由（1）知∠BEF=∠AB′B，
    ∴
    6
    x
    =
    8
    6-y-
    36-x2
    12
    ，
    化简，得y=
    1
    12
    x2-
    4
    3
    x+3，（0＜x≤8-2
    		7
    ）
    ②当点F在点C下方时，如图2所示．
    设直线EF与BC交于点K

    设∠ABB′=∠BKE=∠CKF=θ，
    则tanθ=
    AB′
    AB
    =
    x
    6
    ．
    BK=
    BE
    tanθ
    ，CK=BC-BK=8-
    BE
    tanθ
    ．
    ∴CF=CK•tanθ=（8-
    BE
    tanθ
    ）•tanθ=8tanθ-BE=
    4
    3
    x-BE．
    在Rt△EAB′中，EB′2=AE2+AB′2，
    ∴（6-BE）2+x2=BE2
    解得BE=
    36+x2
    12
    ．
    ∴CF=
    4
    3
    x-BE=
    4
    3
    x-
    36+x2
    12
    =-
    1
    12
    x2+
    4
    3
    x-3
    ∴y=-
    1
    12
    x2+
    4
    3
    x-3（8-2
    		7
    ＜x≤6）
    综上所述，
    y=
    1
    12
    x2-
    4
    3
    x+3(0＜x≤8-2
    		7
    )
    -
    1
    12
    x2+
    4
    3
    x-3(8-2
    		7
    ＜x≤6)
    ．
    点评：本题考查了折叠的问题及矩形的性质，解题的关键是折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
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    		2
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    ．

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    D．无所谓．
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    （1）已知：如图，点CD，AB，AC，BC在同一直线上，EC∥FD，∠F=∠E．求证：AE∥BF，
    ∵EC∥FD（已知）
    ∴∠F=∠
     
    （
     
    ）
    ∵∠F=∠E（已知）
    ∴∠
     
    =∠E（
     
    ）
    ∴
     
    ∥
     
    （
     
    ）
    （2）你在（1）的证明过程中用了哪两个互逆的真命题？

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （1）解方程组：
    y-x=3  ①
    3x+5y=31  ②
    ．
    （2）计算：
    		9
    +|-2|+
    327
    +（-1）2011．
    （3）解不等式：x-
    x
    2
    +
    x+1
    3
    ＜1+
    x+8
    6
    ．
    （4）解不等式组
    2x-3＜6-x
    1-4x≤5x-2.
    ．

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    计算：
    2ab
    a2-b2
    -
    b
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    ．

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    （1）解方程：
    2(x+1)2
    x2
    -
    x+1
    x
    -1=0；
    （2）化简：（a-1）
    		-
    1
    a-1
    ．

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