Question

6．如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，I为△ABC的内心．
（1）求S_△ABC；
（2）求BI的长．

Answer 1

分析 （1）根据三角形的内心判断出AD⊥BC，根据勾股定理求出AD，即可得出三角形的面积；
（2）根据三角形的面积公式求出DI，再根据勾股定理求出BI．

解答 解：（1）如图，连接AI交BC于D，
∵I是三角形的内心，
∴∠BAD=∠CAD，
∵AB=AC，
∴AD⊥BC，BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=6
在Rt△ADC中，AC=10，CD=6，
根据勾股定理得，AD=$\sqrt{A{C}^{2}-C{D}^{2}}$=8，
∴S_△ACB=$\frac{1}{2}$BC×AD=$\frac{1}{2}$×12×8=48，
（2）根据三角形的面积公式有，S_△ACB=$\frac{1}{2}$（AB+AC+BC）×DI，
∴48=$\frac{1}{2}$（10+10+12）×DI，
∴DI=48÷16=3，
在Rt△BDI中，BD=6，ID=3，
根据勾股定理得，BI=$\sqrt{B{D}^{2}+D{I}^{2}}$=3$\sqrt{5}$．

点评 本题主要考查的是三角形的内心，等腰三角形的性质，勾股定理掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．