Question

（2013•濠江区模拟）如图所示，抛物线y=ax²+bx+c经过原点O，与x轴交于另一点N，直线y=kx+b₁与两坐标轴分别交于A、D两点，与抛物线交于B（1，3）、C（2，2）两点．
（1）求直线与抛物线的解析式；
（2）若抛物线在x轴上方的部分有一动点P（x，y），求△PON的面积最大值；
（3）若动点P保持（2）中的运动路线，问是否存在点P，使得△POA的面积等于△POD面积的

1

9

？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）把点B、C的坐标代入直线表达式解方程组即可得解，把点B、C、O的坐标代入抛物线的解析式，解三元一次方程组求出a、b、c的值，即可得到抛物线的解析式；
（2）先根据抛物线的解析式求出点N的坐标，再根据三角形的面积公式可知，点P为抛物线的顶点时△PON底边ON上的高最大，面积最大，求出点P的纵坐标，代入面积公式即可得解；
（3）先求出点A、D的坐标，再设点P的坐标为（x，-2x²+5x），根据三角形的面积公式列式得到关于x的一元二次方程，然后求出方程的解，再根据点P在x轴的上方进行判断．

解答：解：（1）根据题意得，

k+b1=3 2k+b1=2

，
解得

k=-1 b1=4

，
∴直线的解析式是y=-x+4，
根据图象，抛物线经过点B（1，3）、C（2，2）、（0，0），
∴

a+b+c=3 4a+2b+c=2 c=0

，
解得

a=-2 b=5 c=0

，
∴抛物线的解析式是y=-2x²+5x；

（2）当y=0时，-2x²+5x=0，
解得x₁=0，x₂=

5

2

，
∴点N的坐标是（

5

2

，0），
∴点P的纵坐标越大，则△PON的面积越大，
当点P是抛物线的顶点时，△PON的面积最大，
此时

4ac-b2

4a

=

-52

4×(-2)

=

-25

-8

=

25

8

，
S_△PON最大=

1

2

×

5

2

×

25

8

=

125

32

；

（3）当x=0时，y=4，
当y=0时，-x+4=0，解得x=4，
∴点A、D的坐标是A（0，4），D（4，0），
设点P的坐标是（x，-2x²+5x），则

1

2

×4x=

1

9

×

1

2

×4×（-2x²+5x），
整理得，2x²+4x=0，
解得x₁=0，x₂=-2，
此时点P不在x轴的上方，不符合题意，
∴不存在点P，使得△POA的面积等于△POD面积的

1

9

．

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系数法求直线与函数的解析式，抛物线的顶点公式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．