Question

10．如图所示，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，∠CAB=∠ACB，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且∠EAB=∠FCB．
（1）求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；
（2）若AE平分∠BAC，求∠ACF的度数．

Answer 1

分析 （1）根据ASA证明两三角形全等；
（2）由已知得：△ABC是等腰直角三角形，则∠BAC=∠ACB=45°，由角平分线得出∠BAE=22.5°，所以
根据∠ACF=∠ACB+∠BCF代入计算可得结果．

解答 证明：（1）∵∠ABC=90°，
∴∠ABC=∠CBF=90°，
在Rt△ABE和Rt△CBF中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠EAB=∠FCB}\\{∠ABC=∠CBF}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF；
（2）∵AB=CB，∠ABC=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠ACB=45°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=$\frac{1}{2}$∠BAC=22.5°，
∵Rt△ABE≌Rt△CBF，
∴∠BCF=∠BAE=22.5°，
∴∠ACF=∠ACB+∠BCF=45°+22.5°=67.5°．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定，属于基础题，难度不大；明确等腰直角三角形的特殊性：等腰直角三角形的每一个锐角都是45°，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．