Question

如图，BD、CE分别是△ABC的边AC和AB的高，点P在BD的延长线上，BP=AC；点Q在CE上，CQ=AB．
（1）判断AP与AQ之间的数量与位置关系；
（2）证明你的结论．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据题意猜想出结论；
（2）由BD、CE是△ABC的高，得∠AEC=90，∠ADB=90，再由∠1=∠2，BP=AC，AB=CQ，所以△ABP≌△QCA（SAS）则AP=AQ，再由∠P+∠PAD=90°，∠P=∠CAQ，可知∠QAC+∠PAD=90°，故可得出结论．

解答：（1）猜想：AP⊥AQ且AP=AQ；

（2）证明：∵BD，CE是△ABC的高，
∴∠AEC=∠ADB=90°，
∴∠1+∠BAC=90°，∠2+∠BAC=90°，
∴∠1=∠2．
在△ABP与△QCA中，

AB=CQ ∠1=∠2 BP=AC

，
∴△ABP≌△QCA（SAS），
∴AP=AQ，∠P=∠QAC，
又∵∠P+∠PAD=90°，
∴∠QAC+∠PAD=90°，即AP⊥AQ，
∴AP⊥AQ且AP=AQ．

点评：本题考查的是全等三角形的判定与性质，熟知全等三角形的SAS、ASA及SSS定理是解答此题的关键．