Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，A是抛物线y= x2上的一个动点，且点A在第一象限内．AE⊥y轴于点E，点B坐标为（0，2），直线AB交x轴于点C，点D与点C关于y轴对称，直线DE与AB相交于点F，连结BD．设线段AE的长为m，△BED的面积为S．

（1）当m= 时，求S的值．
（2）求S关于m（m≠2）的函数解析式．
（3）①若S= 时，求 的值；
②当m＞2时，设 =k，猜想k与m的数量关系并证明．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵点A在二次函数y= x2的图象上，AE⊥y轴于点E，且AE=m，

∴点A的坐标为（m， m2），

当m= 时，点A的坐标为（ ，1），

∵点B的坐标为（0，2），

∴BE=OE=1．

∵AE⊥y轴，

∴AE∥x轴，

∴△ABE∽△CBO，

∴ = ，

∴CO=2 ，

∵点D和点C关于y轴对称，

∴DO=CO=2 ，

∴S= BEDO= ×1×2 =

（2）

解：（i）当0＜m＜2时（如图1），

∵点D和点C关于y轴对称，

∴△BOD≌△BOC，

∵△BEA∽△BOC，

∴△BEA∽△BOD，

∴ ，即BEDO=AEBO=2m．

∴S= BEDO= ×2m=m；

（ii）当m＞2时（如图2），

同（i）解法得：S= BEDO= AEOB=m，

由（i）（ii）得，

S关于m的函数解析式为S=m（m＞0且m≠2）．

（3）

解：①如图3，连接AD，

∵△BED的面积为 ，

∴S=m= ，

∴点A的坐标为（ ， ），

∵ = = =k，

∴S△ADF=kS△BDF，S△AEF=kS△BEF，

∴ = = =k，

∴k= = = ；

②k与m之间的数量关系为k= m2，

如图4，连接AD，

∵ = = =k，

∴S△ADF=kS△BDF，S△AEF=kS△BEF，

∴ = = =k，

∵点A的坐标为（m， m2），S=m，

∴k= = = m2（m＞2）．

【解析】（1）首先可得点A的坐标为（m， m2），继而可得点E的坐标及BE、OE的长度，易得△ABE∽△CBO，利用对应边成比例求出CO，根据轴对称的性质得出DO，继而可求解S的值；（2）分两种情况讨论，（I）当0＜m＜2时，将BEDO转化为AEBO，求解；（II）当m＞2时，由（I）的解法，可得S关于m的函数解析式；（3）①首先可确定点A的坐标，根据 = = =k，可得S△ADF=kS△BDFS△AEF=kS△BEF ， 从而可得 = = =k，代入即可得出k的值；②可得 = = =k，因为点A的坐标为（m， m2），S=m，代入可得k与m的关系．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用二次函数的性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．