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【题目】 在平面直角坐标系中,抛物线y=-x2+bx+c经过点ABC,已知A-10),C03).

1)求抛物线的解析式;

2)如图1P为线段BC上一点,过点Py轴的平行线,交抛物线于点D,当CDP为等腰三角形时,求点P的坐标;

3)如图2,抛物线的顶点为EEFx轴于点FN是直线EF上一动点,Mm0)是x轴一个动点,请直接写出CN+MN+MB的最小值以及此时点MN的坐标.

【答案】(1)y=-x2+2x+3;(2)当CDP为等腰三角形时,点P的坐标为(12)或(21)或(3-);(3)CN+MN+MB的最小值为N坐标为(13-),M坐标为(0).

【解析】

(1)利用待定系数法即可求得此抛物线的解析式;

2)由待定系数法即可求得直线BC的解析式,再设Pt3-t),即可得Dt-t2+2t+3),即可求得PD的长,然后分三种情况讨论,求点P的坐标;

3)如图2,构造BGx轴成30°角,将MB转化为线段MBG的距离,从而可知CMNB′在同一条直线上时,CN+MN+MB取最小值,根据CG的长和∠CGB=60°即可求出最小值.根据直线BG求出直线CB′解析式,即求出MN坐标.

解:(1)∵抛物线y=-x2+bx+c经过点ABC,把A-10),C03)代入解析式得,

解得b=2c=3

故该抛物线解析式为:y=-x2+2x+3

2)令-x2+2x+3=0

解得x1=-1x2=3

B30),

设直线BC的解析式为y=kx+b′

解得:

故直线BC的解析式为y=-x+3

∴设Pt3-t),

Dt-t2+2t+3),

PD=-t2+2t+3-3-t=-t2+3t

OB=OC=3

∴△BOC是等腰直角三角形,

∴∠OCB=45°

CD=PC时,则∠CPD=CDP

PDy轴,

∴∠CPD=OCB=45°

∴∠CDP=45°

∴∠PCD=90°

∴直线CD的解析式为y=x+3

D14),

此时P12);

CD=PD时,则∠DCP=CPD=45°

∴∠CDP=90°

CDx轴,

D点的纵坐标为3

代入y=-x2+2x+3得,3=-x2+2x+3

解得x=0x=2

此时P21);

PC=PD时,∵PC=t

t=-t2+3t

解得t=0t=3-

此时P3-);

综上,当CDP为等腰三角形时,点P的坐标为(12)或(21)或(3-).

3CN+MN+MB的最小值为N坐标为(13-),M坐标为(0).

理由如下:

如图,取G点坐标为(0-),连接BG

B30),

∴直线BG解析式为:y=

tanGBO=30°

M点作MB′BG,∴

CN+MN+MB=CN+MN+B′M

CN+MN+MB取最小值时,CMNB′在同一条直线上,

CB′BG

设直线CB′解析式为,∵C03

故直线CB′解析式为为

∵抛物线的顶点为E坐标为(14),EFx轴,NEFCB′上,

N坐标为(13-),

Mm0)是x轴一个动点,也是CB′x轴交点,

M0).

CG=3+,∠CGB=60°

CB′=CGsinCGB=3+×=

综上所述:CN+MN+MB的最小值为N坐标为(13-),M坐标为(0).

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组别

时间段(小时)

频数

频率

1

0≤x0.5

10

0.05

2

0.5≤x1.0

20

0.10

3

1.0≤x1.5

80

b

4

1.5≤x2.0

a

0.35

5

2.0≤x2.5

12

0.06

6

2.5≤x3.0

8

0.04

1)表中a=______b=______

2)请补全频数分布直方图;

3)样本中,学生日阅读所用时间的中位数落在第______组;

4)该校共有学生3000人,请估计学生日阅读量不少于1.5小时的人数.

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①求抛物线的函数关系式;

②如图2,点Ey轴负半轴上一点,连接BE,将△OBE绕平面内某一点旋转180°,得到△PMN(点PMN分别和点OBE对应),并且点MN都在抛物线上,作MFx轴于点F,若线段MFBF12,求点MN的坐标;

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