【题目】 在平面直角坐标系中,抛物线y=-x2+bx+c经过点A、B、C,已知A(-1,0),C(0,3).
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图1,P为线段BC上一点,过点P作y轴的平行线,交抛物线于点D,当△CDP为等腰三角形时,求点P的坐标;
(3)如图2,抛物线的顶点为E,EF⊥x轴于点F,N是直线EF上一动点,M(m,0)是x轴一个动点,请直接写出CN+MN+MB的最小值以及此时点M、N的坐标.
【答案】(1)y=-x2+2x+3;(2)当△CDP为等腰三角形时,点P的坐标为(1,2)或(2,1)或(3-,);(3)CN+MN+MB的最小值为,N坐标为(1,3-),M坐标为(,0).
【解析】
(1)利用待定系数法即可求得此抛物线的解析式;
(2)由待定系数法即可求得直线BC的解析式,再设P(t,3-t),即可得D(t,-t2+2t+3),即可求得PD的长,然后分三种情况讨论,求点P的坐标;
(3)如图2,构造BG与x轴成30°角,将MB转化为线段M到BG的距离,从而可知C、M、N、B′在同一条直线上时,CN+MN+MB取最小值,根据CG的长和∠CGB=60°即可求出最小值.根据直线BG求出直线CB′解析式,即求出MN坐标.
解:(1)∵抛物线y=-x2+bx+c经过点A、B、C,把A(-1,0),C(0,3)代入解析式得,
∴,
解得b=2,c=3.
故该抛物线解析式为:y=-x2+2x+3.
(2)令-x2+2x+3=0,
解得x1=-1,x2=3,
即B(3,0),
设直线BC的解析式为y=kx+b′,
则,
解得:,
故直线BC的解析式为y=-x+3;
∴设P(t,3-t),
∴D(t,-t2+2t+3),
∴PD=(-t2+2t+3)-(3-t)=-t2+3t,
∵OB=OC=3,
∴△BOC是等腰直角三角形,
∴∠OCB=45°,
当CD=PC时,则∠CPD=∠CDP,
∵PD∥y轴,
∴∠CPD=∠OCB=45°,
∴∠CDP=45°,
∴∠PCD=90°,
∴直线CD的解析式为y=x+3,
解得或,
∴D(1,4),
此时P(1,2);
当CD=PD时,则∠DCP=∠CPD=45°,
∴∠CDP=90°,
∴CD∥x轴,
∴D点的纵坐标为3,
代入y=-x2+2x+3得,3=-x2+2x+3,
解得x=0或x=2,
此时P(2,1);
当PC=PD时,∵PC=t,
∴t=-t2+3t,
解得t=0或t=3-,
此时P(3-,);
综上,当△CDP为等腰三角形时,点P的坐标为(1,2)或(2,1)或(3-,).
(3)CN+MN+MB的最小值为,N坐标为(1,3-),M坐标为(,0).
理由如下:
如图,取G点坐标为(0,-),连接BG,
∵B(3,0),
∴直线BG解析式为:y=,
∴tan∠GBO=30°,
过M点作MB′⊥BG,∴,
∴CN+MN+MB=CN+MN+B′M,
∴CN+MN+MB取最小值时,C、M、N、B′在同一条直线上,
即CB′⊥BG,
设直线CB′解析式为,∵C(0,3)
故直线CB′解析式为为,
∵抛物线的顶点为E坐标为(1,4),EF⊥x轴,N在EF、CB′上,
∴N坐标为(1,3-),
M(m,0)是x轴一个动点,也是CB′与x轴交点,
∴M(,0).
∵CG=3+,∠CGB=60°,
∴CB′=CGsin∠CGB=(3+)×=,
综上所述:CN+MN+MB的最小值为,N坐标为(1,3-),M坐标为(,0).
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【题目】如图,在菱形ABCD中,E在BC上,G在CD延长线上,AE和BG相交于点M,若AE=BG,tan∠BME=2,菱形ABCD面积为,则AB的长_____.
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【题目】定义:如果一元二次方程满足a+b+c=0,我们称这个方程为“凤凰”方程.已知是凤凰方程,且有两个相等的实数根,则下列正确的是( )
A.a=cB.a=bC.b=cD.a=b=c
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【题目】如图,在△ABC中,CD是边AB上的中线,∠B是锐角,sinB=,tanA=,AC=,
(1)求∠B 的度数和 AB 的长.
(2)求 tan∠CDB 的值.
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【题目】 郑州外国语中学为了解学生课下阅读所用时间的情况,从各年级学生中随机抽查了一部分学生进行统计,下面是针对此次统计所制作的不完整的频数分布表和频数分布直方图,请根据图表信息回答下列问题:
组别 | 时间段(小时) | 频数 | 频率 |
1 | 0≤x<0.5 | 10 | 0.05 |
2 | 0.5≤x<1.0 | 20 | 0.10 |
3 | 1.0≤x<1.5 | 80 | b |
4 | 1.5≤x<2.0 | a | 0.35 |
5 | 2.0≤x<2.5 | 12 | 0.06 |
6 | 2.5≤x<3.0 | 8 | 0.04 |
(1)表中a=______b=______;
(2)请补全频数分布直方图;
(3)样本中,学生日阅读所用时间的中位数落在第______组;
(4)该校共有学生3000人,请估计学生日阅读量不少于1.5小时的人数.
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【题目】如图,已知抛物线y=x2+bx+c经过A(﹣1,0)、B(3,0)两点.
(1)求抛物线的解析式和顶点坐标;
(2)若p为x轴上方抛物线上一点,且三角形PAB面积为20,求P点坐标.
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【题目】如图1,二次函数y=ax2﹣2ax﹣3a(a<0)的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的右侧),与y轴的正半轴交于点C,顶点为D.
(1)求顶点D的坐标(用含a的代数式表示);
(2)若以AD为直径的圆经过点C.
①求抛物线的函数关系式;
②如图2,点E是y轴负半轴上一点,连接BE,将△OBE绕平面内某一点旋转180°,得到△PMN(点P、M、N分别和点O、B、E对应),并且点M、N都在抛物线上,作MF⊥x轴于点F,若线段MF:BF=1:2,求点M、N的坐标;
③点Q在抛物线的对称轴上,以Q为圆心的圆过A、B两点,并且和直线CD相切,如图3,求点Q的坐标.
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【题目】如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长,那么称这个三角形为好玩三角形.若Rt△ABC是好玩三角形,且∠C=90°,BC≥AC,则sinB=_____.
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