Question

如图，⊙O是△ABC的外接圆，FH是⊙O的切线，切点为F，FH∥BC，连结AF交BC于E，∠ABC的平分线BD交AF于D，连结BF．
（1）证明：AF平分∠BAC；
（2）证明：BF=FD；
（3）若EF=5，DE=4，求AD的长．

Answer 1

考点：切线的性质,相似三角形的判定与性质

专题：计算题

分析：（1）如图1，连接OF，根据FH为圆O的切线，利用切线的性质得到OF垂直于FH，根据BC与FH平行得到OF垂直于BC，利用垂径定理得到OF垂直平分BC，进而得到BF=CF，利用等弦所对的圆周角相等即可得证；
（2）由BD为角平分线得到一对角相等，且∠BAF=∠CAF，再利用同弧所对的圆周角相等得到∠FBC=∠CAF，利用等式的性质得到∠FDB=∠FBD，利用等角对等边即可得证；
（3）由同弧所对的圆周角相等及∠BAF=∠CAF，等量代换得到一对角相等，再由一对角相等，得到三角形BEF与三角形AFB相似，由相似得比例求出FA的值，由FA-DF即可求出AD的长．

解答：（1）证明：如图1，连接OF，
∵FH为圆O的切线，
∴OF⊥FH，
∴OF垂直平分BC，
∴BF=FC，
∴AF平分∠BAC；
（2）证明：由题意得：∠BAF=∠CAF，∠ABD=∠CBD，∠FBC=∠CAF，
∴∠BAF+∠ABD=∠CAF+∠CBD=∠FBC+∠CBD，即∠FDB=∠FBD，
∴BF=FD；
（3）在△BFE和△AFB中，∠EBF=∠FAC=∠BAF，∠BFE=∠AFB，
∴△BFE∽△AFB，
∴

BF

FE

=

AF

BF

，即BF²=FE•FA，
∴FA=

BF2

FE

=

81

5

，
则AD=

81

5

-9=

36

5

．

点评：此题考查了切线的性质，圆周角定理，以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．