某研究性学习小组在探究矩形的折纸问题时，将一块直角三角板的直角顶点绕着矩形ABCD（AB＜BC）的对角线交点O旋转（如图①→②→③），图中M、N分别为直角三角板的直角边与矩形ABCD的边CD、BC的交点．

（1）该学习小组中一名成员意外地发现：在图①（三角板的一直角边与OD重合）中，BN²=CD²+CN²；在图③（三角板的一直角边与OC重合）中，CN²=BN²+CD²．请你对这名成员在图①和图③中发现的结论选择其一说明理由．
（2）试探究图②中BN、CN、CM、DM这四条线段之间的关系，写出你的结论，并说明理由．

（1）选①，
证明：连接DN，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=OD，
∵∠DON=90°，
∴BN=DN，
∵∠BCD=90°，
∴DN²=CD²+CN²，
∴BN²=CD²+CN²；

（2）证明：延长NO交AD于点P，连接PM，MN，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OD=OB，AD∥BC，
∴∠DPO=∠BNO，∠PDO=∠NBO，
在△BON和△DOP中
∵ $\text{[math]}$ ，
∴△BON≌△DOP，
∴ON=OP，BN=PD，
∵∠MON=90°，
∴PM=MN，
∵∠ADC=∠BCD=90°，
∴PM²=PD²+DM²，MN²=CM²+CN²，
∴PD²+DM²=CM²+CN²，
∴BN²+DM²=CM²+CN²．
分析：（1）连接DN，根据矩形得出OB=OD，根据线段垂直平分线得出BN=DN，根据勾股定理求出DN的平方，即可求出答案；
（2）延长NO交AD于点P，连接PM，MN，证△BNO≌△DPO，推出OP=ON，DP=BN，根据线段垂直平分线求出PM=MN，根据勾股定理求出即可．
点评：本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线，全等三角形的性质和判定，勾股定理等知识点的综合运用，主要考查学生的猜想能力和推理能力，题目比较好，但是有一定的难度．

练习册系列答案

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