Question

如图，点E，C在BF上，BE=FC，∠ABC=∠DEF=45°，∠A=∠D=90°．
（1）求证：AB=DE；
（2）若AC交DE于M，且AB=

3

，ME=

2

，将线段CE绕点C顺时针旋转，使点E旋转到AB上的G处，求旋转角∠ECG的度数．

Answer 1

分析：（1）通过证明△ABC≌△DEF即可得出AB=DE．
（2）要求角的度数就要解直角三角形，根据特殊角的三角函数值来计算．

解答：（1）证明：∵BE=FC，
∴BC=EF，
又∵∠ABC=∠DEF，∠A=∠D，
∴△ABC≌△DEF，（1分）
∴AB=DE．（2分）

（2）解：∵∠DEF=∠B=45°，
∴DE∥AB，
∴∠CME=∠A=90°，（3分）
∴AC=AB=

3

，MC=ME=

2

，（4分）
∴在Rt△MEC中，EC=

ME2+MC2

=

( 2 )2+( 2 )2

=2，
∴CG=CE=2，（5分）
在Rt△CAG中，cos∠ACG=

AC

CG

=

3

2

，
∴∠ACG=30°，（6分）
∴∠ECG=∠ACB-∠ACG=45°-30°=15°．（7分）

点评：本题综合考查了旋转变换作图，三角形全等和解直角三角形的综合应用．