Question

同学们都学习过《几何》课本第三册第199页的第11题，它是这样的：
如图，A为⊙O的直径EF上的一点，OB是和这条直径垂直的半径，BA和⊙O相交于另一点C，过点C的切线和EF的延长线相交于点D，求证：DA=DC．

（1）现将图1中的直径EF所在直线进行平行移动到图2所示的位置，此时OB与EF垂直相交于H，其它条件不变．
①求证：DA=DC；
②当DF：EF=1：8，且DF=时，求AB•AC的值．
（2）将图2中的EF所在直线继续向上平行移动到图3所示的位置，使EF与OB的延长线垂直相交于H，A为EF上异于H的一点，且AH小于⊙O的切线交EF于D，试猜想：DA=DC是否仍然成立？证明你的结论．

Answer 1

解：（1）①证明：连OC，则OC⊥DC，
∴∠DCA=90°-∠ACD=90°-∠B，
又∠DAC=∠BAE=90°-∠B，
∴∠DAC=∠DCA∴DA=DC，
②∵DF：EF=1：8，DF=，
∴EF=8DF=8，
又DC为切线，
∴DC²=DF•DE=×9=18，
∴DC=3，
∴AD=DC=3，
∴AF=AD-DF=2，
∴AE=EF-AF=6，
∴AB•AC=AE•AF=24；

（2）结论DA=DC仍然成立，理由如下：
延长BO交⊙O于K，连CK，则∠KCB=90°，
又DC为⊙O的切线，
∴∠DCA=∠CKB=90°-∠CBK，
又∠BAH=90°-∠HBA，
而∠CBK=∠HBA，
∴∠DCA=∠BAH，
∴DA=DC．
分析：（1）①连接OC，利用切线的性质则可得到OC⊥DC，然后得到，∴∠DCA=90°-∠ACO=90°-∠B=∠DAC，利用等角对等边得到DA=DC即可；
②利用DF：EF=1：8，DF=则可得到EF=8DF=8，然后利用切线长定理求得DC的长，进而得到DC、AD的长，然后利用切线长定理得：AB•AC=AE•AF=24；
（2）结论仍然成立，延长BO交⊙O于K，连CK，利用切线的性质可以得到∠DCA=∠CKB=90°-∠CBK，从而得到∠DCA=∠BAH，问题得证．
点评：本题考查了切线的性质、垂径定理及切割线定理的内容，是一道比较复杂的切线的性质的综合题，难度较大．