Question

已知A、B、C、D是⊙O上的四点，

CD

=

BD

，AC是四边形ABCD的对角线
（1）如图1，连结BD，若∠CDB=60°，求证：AC是∠DAB的平分线；
（2）如图2，过点D作DE⊥AC，垂足为E，若AC=7，AB=5，求线段AE的长度．

Answer 1

（1）证明：∵

CD

=

BD

，
∴CD=BD，
∵∠CDB=60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴

CD

=

BC

，
∴∠CAD=∠BAC，即AC是∠DAB的平分线；

（2）连接BD，在线段CE上取点F，使得EF=AE，连接DF，
∵DE⊥AC，
∴DF=DA，
∴∠DFE=∠DAE，
∵

CD

=

BD

，
∴CD=BD，∠DAC=∠DCB，
∴∠DFE=∠DCB，
∵四边形ABCD是圆的内接四边形，
∴∠DAB+∠DCB=180°，
∵∠DFC+∠DFE=180°，
∴∠DFC=∠DAB，
∵在△CDF和△BDA中，

∠DFC=∠DAB ∠DCF=∠DBA CD=BD

∴△CDF≌△BDA（AAS），
∴CF=AB=5，
∵AC=7，AB=5，
∴AE=

1

2

AF=

1

2

（AC-CF）=1．