Question

如图，抛物线y=ax²+bx+c的顶点为A（-3，2），与x轴相交于点C（-2，0），过点C画CB⊥AC交y轴于点B，连结AB得△ABC
（1）求抛物线的解析式；
（2）求出点B的坐标；（提示：作抛物线的对称轴）
（3）将△ABC沿x轴正方向平移后得到△A′B′C′，点A′、B′恰好落在双曲线上，求该双曲线的解析式和平移的距离．

Answer 1

分析：（1）根据顶点的坐标，设出抛物线的顶点坐标，将C坐标代入求出a的值，即可确定出抛物线解析式；
（2）过A作AD垂直于x轴，得到一对角互余，根据AC与BC垂直，得到一对角互余，利用同角的余角相等得到一对角相等，根据A与C的坐标，得到AD=OC，利用ASA得到三角形ACD与三角形BCO全等，利用全等三角形对应边相等得到OB=CD，根据OD-OC求出CD的长，确定出OB的长，即可求出B的坐标；
（3）作出直线AA′，BB′，A′D′⊥x轴，B′O′⊥x轴，OO′即为平移的距离，根据题意设A′（m，2），B′（m+3，1），反比例解析式为y=

k

x

（k≠0），将A′与B′代入反比例解析式中，求出m与k的值，即可确定出反比例解析式，以及OO′的距离，即为平移的距离．

解答：解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+3）²+2，
将C（-2，0）代入得：a+2=0，即a=-2，
则抛物线解析式为y=-2（x+3）²+2=-2x²-12x-16；

（2）作出抛物线的对称轴，与x轴交于D点，可得AD⊥x轴，
∵A（-3，2），C（-2，0），
∴AD=OC=2，OD=3，CD=OD-OC=3-2=1，
∵CB⊥AC，
∴∠ACD+∠BCO=90°，
∵∠CAD+∠ACD=90°，
∴∠BCO=∠CAD，
在△ACD和△BCO中，

∠ADC=∠COB=90° AD=CO ∠CAD=∠BCO

，
∴△ACD≌△BCO（ASA），
∴OB=CD=1，
则B（0，1）；

（3）作出直线AA′，BB′，A′D′⊥x轴，B′O′⊥x轴，OO′即为平移的距离，
根据题意设A′（m，2），B′（m+3，1），反比例解析式为y=

k

x

（k≠0），
将A′与B′代入得：2m=k，m+3=k，即2m=m+3，
解得：m=3，k=6，
∴反比例解析式为y=

6

x

，A′（3，2），B′（6，1），
∴OO′=6，即平移的距离为6．

点评：此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，坐标与图形性质，待定系数法求二次函数解析式，平移的性质，熟练掌握待定系数法是确定反比例解析式的关键．