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4.过等边三角形内一点向三边作垂线,已知这三条垂线段的长分别为1、3、5.试求这个等边三角形的面积.

分析 作AM⊥BC,根据等边三角形的面积计算可以求得AM=PE+PD+PF,再根据等边三角形的高线长可以计算等边三角形的边长,即可解题.

解答 解:过A作AM⊥BC,则AM为BC边上的高,
连接PA、PB、PC,
则△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$BC•AM=$\frac{1}{2}$(BC•PD+AB•PF+AC•PE),
∴BC•AM=BC•PD+AB•PF+AC•PE,
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=BC=AC,
∴BC•AM=BC•PD+BC•PF+BC•PE=BC•(PD+PF+PE),
∴PD+PE+PF=AM,
∴△ABC的高为:AM=1+3+5=9,
∴△ABC的边长为:AB=$\frac{AM}{sin60°}$=$\frac{9}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$6$\sqrt{3}$,
∴S△ABC=$\frac{1}{2}$×6$\sqrt{3}$×9=27$\sqrt{3}$.

点评 本题考查了三角形面积的计算,考查了等边三角形边长和高线长的关系,本题中求AM=PD+PE+PF是解题的关键.

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