Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，点P是AB边上一点（不与A，B重合），连接CP，过点P作PQ⊥CP交AD边于点Q，连接CQ．

（1）当△CDQ≌△CPQ时，求AQ=_________；

（2）取CQ的中点M，连接MD，MP，若MD⊥MP，求AQ=___________．

Answer 1

【答案】 ２

【解析】

（1）由全等三角形的性质得到DQ=PQ，PC=DC=5，然后利用勾股定理求解即可．

（2）过M作EF⊥CD于F，则EF⊥AB，先证得△MDF≌△PME，得出ME=DF=，然后用梯形的中位线的性质定理求解即可．

（1）∵△CDQ≌△CPQ，

∴DQ=PQ，PC=DC，

∵AB=DC=5，AD=BC=3，

∴PC=5，

在RT△PBC中，，

∴PA=AB﹣PB=5﹣4=1，

设AQ=x，则DQ=PQ=3﹣x，

在RT△PAQ中，，

解得，∴AQ=．

（2））如图2，过M作EF⊥CD于F，则EF⊥AB，

∵MD⊥MP，∴∠PMD=90°，∴∠PME+∠DMF=90°，

∵∠FDM+∠DMF=90°，∴∠MDF=∠PME，

∵M是QC的中点，根据直角三角形直线的性质求得DM=PM=QC，

在△MDF和△PME中，∵∠MDF=∠PME，∠DFM=∠MEP，DM=PM，

∴△MDF≌△PME（AAS），∴ME=DF，PE=MF，

∵EF⊥CD，AD⊥CD，

∴EF∥AD，

∵QM=MC，

∴DF=CF=DC=，

∴ME=，

∵ME是梯形ABCQ的中位线，

∴2ME=AQ+BC，即5=AQ+3，

∴AQ=2．