Question

如图，AB为量角器（半圆O）的直径，等腰直角△BCD的斜边BD交量角器边缘于点G，直角边CD切量角器于读数为60°的点E处（即弧AE的度数为60°），第三边交量角器边缘于点F处．

 

（1）求量角器在点G处的读数α（0°＜α＜90°）；

（2）若AB=10cm，求阴影部分面积．

 

Answer 1

【答案】

（1）30°  ；（2）－

【解析】

试题分析：（1）连接OE，OF，先根据切线的性质可得OE⊥CD，再根据BD为等腰直角△BCD的斜边，可得BC⊥CD，∠D=∠CBD=45°，即可证得OE∥BC，则有∠ABC=∠AOE=60°，即得∠ABG的度数，从而可以求得结果；

（2）先证得△OBF为正三角形，先根据阴影部分的面积等于扇形OBF的面积-三角形OBF的面积，结合扇形的面积公式及三角形的面积公式求解即可.

（1）连接OE，OF

∵CD切半圆O于点E

∴OE⊥CD，

∵BD为等腰直角△BCD的斜边，

∴BC⊥CD，∠D=∠CBD=45°，

∴OE∥BC

∴∠ABC=∠AOE=60°，

∴∠ABG=∠ABC-∠CBD=60°-45°=15°

∴弧AG的度数=2∠ABG=30°，

∴量角器在点G处的读数α=弧AG的度数=30°  ；

（2）∵OF=OB=0.5AB=5cm，∠ABC=60°，

∴△OBF为正三角形，∠BOF=60°，

∴S_扇形=（cm²），S_△OBF=

∴S_阴影=S_扇形-S_△OBF=－

考点：切线的性质，等腰直角三角形的性质，圆周角定理，扇形、三角形的面积公式

点评：本题知识点较多，综合性较强，是中考常见题，熟练掌握圆的相关性质是解题关键.